在基于树的联合查找操作实现中，每个元素都存储在一个节点中，该节点包含一个指向集合名称的指针。集合指针指向 v 的节点 v 也是集合名称。每个集合都是一棵树，以具有自引用集合指针的节点为根。
要执行联合，我们只需让一棵树的根指向另一棵树的根。为了执行查找，我们从起始节点开始跟踪集合名称指针，直到到达集合名称指针指向自身的节点。
In Union by size -> 当执行并集时，我们生成更小的树的根 指向较大的根。这意味着 O(n log n) 时间 执行 n 个联合查找操作。每次我们跟随一个指针，我们都会去到一个大小最多是前一个子树两倍的子树。因此，对于任何查找，我们将遵循最多 O(log n) 个指针。
我不明白每个联合操作如何，查找操作总是 O(log n)。有人可以解释一下最坏情况的复杂性是如何计算的吗？
【问题讨论】：
标签： algorithm time-complexity graph-theory graph-algorithm union-find
我们暂时假设，每棵高度为 h 的树至少包含 2^h 个节点。如果你加入两棵这样的树会发生什么？
如果它们的大小不同，则组合树的高度与较高的树的高度相同，因此新树仍有超过 2^h 个节点（高度相同但节点更多）。
现在，如果它们的高度相同，则生成的树将其高度增加一，并且将包含至少 2^h + 2^h = 2^(h+1) 个节点。所以条件仍然成立。
最基本的树（1个节点，高度0）也满足条件。因此，所有可以通过将两棵树连接在一起来构建的树也都实现了它。
现在高度只是查找过程中要遵循的最大步数。如果一棵树有 n 个节点且高度为 h (n >= 2^h)，这将立即给出 log2(n) >= h >= 步数。
【讨论】：
我们需要证明树的最大高度是 log(N) 其中 N 是 UF (1) 中的项目数
在基本情况下，所有树的高度都是 0。(1) 当然满意
现在假设所有的树都满足 (1) 我们需要证明用 i, j (i (2) 的新树：
因为加入 2 棵树的过程获取较小树的根节点并将其附加到较大树的根节点，所以新树的高度将是：
max(log(j), 1 + log(i)) = max(log(j), log(2i)) <= log(i + j) => (2) proved
详情见下图：
参考：书Algorithms
【讨论】：
您可以进行复杂度O(n lg* n)的n个联合查找（按等级或大小联合）操作，其中lg* n 是使用path compression optimization 的inverse Ackermann function。
注意 O(n lg* n) 优于 O(n log n)
在问题Why is the Ackermann function related to the amortized complexity of union-find algorithm used for disjoint sets? 中，您可以找到有关此关系的详细信息。
【讨论】：