布伦特算法的矢量化版本（寻根）

Question

我正在研究海水状态方程的 Python 版本 (http://www.teos-10.org/)。该库依赖于像p = f(t,d) 这样的反演方程，如果您知道t 和d，您可以直接计算f(t,d)，但您通常有t 和p。这只是一个寻根问题，该库提供了使用牛顿法、二分法或布伦特法的选项。 （特别是对于布伦特方法，请参阅 wiki https://en.wikipedia.org/wiki/Brent%27s_method。）

但是，库会找到 t 和 p 的单个值的根。我希望我的版本可以用于绘制和探索状态方程，所以我想允许t 和p 的向量（numpy 数组）值。将牛顿法和二等分法向量化相当简单，但布伦特法有很多我无法理解的条件。

关于如何矢量化此方法的任何提示？更重要的是，这种向量化实际上会比循环 t 和 p 数组中的值更快吗？

Answer 1

如果您编写任何迭代方法的完全向量化或面向数组的版本，它可能会变得非常低效。例如，您可能需要在一小部分范围内进行大量迭代，而大部分范围会收敛于少量迭代。

您可以使用 Brent 方法在 t 和 d 值的粗网格上求解您的方程。然后使用这些解决方案值对中间细网格值进行更接近的初始猜测，例如使用双三次样条插值。如果这些初始猜测足够接近二次收敛，则不需要对中间值使用布伦特方法。您可以使用 Brent 方法自适应地填充粗网格，并使用矢量化 Newton 方法将最终填充到更精细的网格。