从梯度重建曲线答案

【问题标题】：Reconstructing curve from gradient从梯度重建曲线
【发布时间】：2017-09-02 00:28:26
【问题描述】：

假设我有一条曲线，然后我使用np.gradient 通过有限差分估计它的梯度。给定一个初始点 x[0] 和梯度向量，我如何重建原始曲线？在数学上，我认为这个方程组是可能的，但我不确定如何以编程方式进行。

这是我的问题的一个简单示例，其中我有 sin(x)，我计算数值差，它与 cos(x) 匹配。

test = np.vectorize(np.sin)(x)
numerical_grad = np.gradient(test, 30./100)
analytical_grad = np.vectorize(np.cos)(x)

## Plot data.
ax.plot(test, label='data', marker='o')
ax.plot(numerical_grad, label='gradient')
ax.plot(analytical_grad, label='proof', alpha=0.5)
ax.legend();

【问题讨论】：

查看三次样条曲线（和其他平滑曲线插值方法），除非您希望曲线具有特定的函数形式。

标签： python numpy math numerical-methods

【解决方案1】：

我通过使用 numpy 的 trapz 函数（梯形规则集成）找到了方法。

按照我提出的问题的代码，重现输入数组test，我们这样做：

x = np.linspace(1, 30, 100)
integral = list()
for t in range(len(x)):
    integral.append(test[0] + np.trapz(numerical_grad[:t+1], x[:t+1]))

然后积分数组包含数值积分的结果。

【讨论】：

这非常低效，因为trapz 将在每次调用时从头开始重做累积，而增量计算是可能的。
对于这样一个平滑的函数，辛普森规则应该会提供更好的准确性。

【解决方案2】：

您可以使用积分恢复初始曲线。

作为生活例子：如果你有一维移动的位置函数，你可以得到作为导数（梯度）的速度函数

 v(t) = s(t)' = ds / dt

有了速度，您可能会获得位置（并非所有函数都可以解析积分 - 在这种情况下使用数值积分）添加一些未知常数（移位） - 并且通过初始位置您可以恢复精确值

s(T) = Integral[from 0 to T](v(t)dt) + s(0)

【讨论】：