计算指数函数或贝塞尔函数更费力吗？

Question

通常希望以封闭形式获得数学问题的解，即作为包含普遍接受的函数的表达式，如多项式、有理和无理函数、根和指数和对数。我经常听到的一个理由是，当涉及已知函数时，更容易可视化函数的行为。另一个理由是在一组点上评估函数的计算要求较低。虽然我当然同意第一个理由，但第二个理由合理吗？例如：

• 计算 10 个点的一阶和五阶修正贝塞尔函数是否比计算指数需要更长的时间？

• 计算指数积分是否比计算指数需要更长的时间？

我的直觉是，在所有三种情况下，都会形成围绕所需点的泰勒级数展开，因此归结为评估多项式、其他多项式或其反导数。

Answer 1

我经常听到的一个理由是，当涉及已知函数时，更容易可视化函数的行为。 另一个理由是在一组点上评估函数的计算要求较低。

仅当函数“简单”而不是关闭时。您可以构建任意复杂且计算要求高的封闭形式。

我可以想象封闭式解决方案的两个真正优势：

• 由于大多数编程语言都支持 sqrt、sin 等，因此封闭形式的解决方案很容易用代码表示。

• 如果解决方案是封闭形式，那么您可以遵循许多代数步骤来获得解决方案 - 代数（或可能是三角）解决方案算法。这些算法也只能包含“封闭形式”的步骤，因此它们很容易实现。

如果您知道问题的解决方案可能没有封闭形式，那么您将不得不采用完全不同的方法来解决它。这可能会变得相当棘手：巴比伦人能够在公元前 2000 年求解二次方程，但又花了 3000 多年的时间才可以求解任意阶多项式的根——用数字，而不是代数。