fmincon：这个目标函数？

Question

我正在编写一个程序来使用 Robert Lang 网页中的算法优化打包问题：https://langorigami.com/wp-content/uploads/2015/09/ODS1e_Algorithms.pdf

这是用来设计折纸模型的，它是来自具有约束和不同半径的圆形包装的问题。

我创建了一个带有 5 个节点的 example，其中 4 个是终端。 看着前面算法中包含的这些definitions，我想使用Scale Optimization (A.3)。

根据符号，在我的示例中，我有：

E = {e1, e2, e3, e4,}      ---> Edges
U = {u1, u2. u3, u4, u5}   ---> Vertices (Each one with x and y coordinates)
Ut = {u2, u3, u4, u5}      ---> Terminal Vertices

P = {[u1, u2], [u1, u3], [u1, u4], [u1, u5],
     [u2, u3], [u2, u4], [u2, u5],
     [u3, u4], [u4, u5]}   ---> All paths between vertices from U

Pt = {[u2, u3], [u2, u4], [u2, u5],
     [u3, u4], [u3, u5],
     [u4, u5]}             ---> All paths between terminal vertices Ut

如果我假设 σ 等于 0：

L = {100, 50, 100, 100,
     150, 200, 200,
     150, 150,
     200}                   --> Length of the paths P

Note that the length of each path is in the same position of P.

所以现在，在定义了所有这些之后，我必须优化规模。 为此，我应该：

在 {m,ui ∈ Ut} s.t. 上最小化 (-m): (A-2)

1.- 0 ≤ ui,x ≤ w 对于所有 ui ∈Ut (A-3)

2.- 0 ≤ ui,y ≤ h 对于所有 ui ∈Ut (A-4)

3.- (A-5) 来自我提供的网页。

因此，在示例中，合并 (A-3) 和 (A-4) 我们可以将 Lb 和 Ub 设置为fmincon函数如：

Lb = zeros(1,8)
Ub = [ones(1,4)*w, ones(1,4)*h]

fmincon 函数的输入 x，由于拒绝矩阵，我正在使用它：

X = [x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4]，这就是为什么 Lb 和 Ub 有这种形式。

关于(A-5)，我们得到这组不等式：

m*150 - sqrt((x(2)-x(3))^2 + (y(2)-y(3))^2) <= 0
m*200 - sqrt((x(2)-x(4))^2 + (y(2)-y(4))^2) <= 0
m*200 - sqrt((x(2)-x(5))^2 + (y(2)-y(5))^2) <= 0
m*150 - sqrt((x(3)-x(4))^2 + (y(3)-y(4))^2) <= 0
m*150 - sqrt((x(3)-x(5))^2 + (y(3)-y(5))^2) <= 0
m*200 - sqrt((x(4)-x(5))^2 + (y(4)-y(5))^2) <= 0

---

我的主程序是testFmincon.m：

[x,fval,exitflag] = Solver(zeros(1,10),zeros(1,10),ones(1,10)*700);
%% w = h = 700

我在Solver.m文件中实现了优化器：

function [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = Solver(x0, lb, ub)
%% This is an auto generated MATLAB file from Optimization Tool.

%% Start with the default options
options = optimoptions('fmincon');
%% Modify options setting
options = optimoptions(options,'Display', 'off');
options = optimoptions(options,'Algorithm', 'sqp');
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = ...
fmincon(@Objs,x0,[],[],[],[],lb,ub,@Objs2,options);

Objs2.m 是：

function [c, ceq] = Objs2(xy)
length = size(xy);
length = length(2);
x = xy(1,1:length/2);
y = xy(1,(length/2)+1:length);

c(1) = sqrt((x(2) - x(3))^2 + (y(2)-y(3))^2) - m*150;
c(2) = sqrt((x(2) - x(4))^2 + (y(2)-y(4))^2) - m*200;
c(3) = sqrt((x(2) - x(5))^2 + (y(2)-y(5))^2) - m*200;
c(4) = sqrt((x(3) - x(4))^2 + (y(3)-y(4))^2) - m*150;
c(5) = sqrt((x(3) - x(5))^2 + (y(3)-y(5))^2) - m*150;
c(6) = sqrt((x(4) - x(5))^2 + (y(4)-y(5))^2) - m*200;

ceq=[x(1) y(1)]; %% x1 and y1 are 0.
end

而Objs.m文件是：

function c = Objs(xy)
length = size(xy);
length = length(2);
x = xy(1,1:length/2);
y = xy(1,(length/2)+1:length);

c(1) = sqrt((x(2) - x(3))^2 + (y(2)-y(3))^2) - m*150;
c(2) = sqrt((x(2) - x(4))^2 + (y(2)-y(4))^2) - m*200;
c(3) = sqrt((x(2) - x(5))^2 + (y(2)-y(5))^2) - m*200;
c(4) = sqrt((x(3) - x(4))^2 + (y(3)-y(4))^2) - m*150;
c(5) = sqrt((x(3) - x(5))^2 + (y(3)-y(5))^2) - m*150;
c(6) = sqrt((x(4) - x(5))^2 + (y(4)-y(5))^2) - m*200;

c = m*sum(c);
end

但是我不能正常工作，我认为我使用了错误的 fmincon 函数。 我也不知道如何优化 (-m) ...我应该使用 syms m 还是类似的东西？

edit：这样的输出总是 [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] 而不是。请参阅output here。

非常感谢您的建议。

Answer 1

更多观察。

我们可以通过去掉平方根来简化一些事情。所以约束看起来像：

set c = {x,y}
maximize m2
m2 * sqrpathlen(ut,vt) <= sum(c, sqr(pos(ut,c)-pos(vt,c))) for all paths ut->vt

其中 m2 是 m 的平方。

这确实是非凸的。使用全局求解器，我得到了解决方案：

----     83 VARIABLE m2.L                  =       12.900  m^2, with m=scale
            PARAMETER m                    =        3.592  

----     83 VARIABLE pos.L  positions

             x           y

u3     700.000     700.000
u4     700.000     161.251
u5     161.251     700.000

（pos(u2,x) 和 pos(u2,y) 为零）。

使用以 0 为起点的局部求解器，我们看到我们根本不动：

----     83 VARIABLE m2.L                  =        0.000  m^2, with m=scale
            PARAMETER m                    =        0.000  

----     83 VARIABLE pos.L  positions

                      ( ALL       0.000 )