线性时间算法的总和是线性时间吗？答案

【问题标题】：Sum of linear time algorithms is linear time?线性时间算法的总和是线性时间吗？
【发布时间】：2012-09-18 14:31:01
【问题描述】：

如果问题“愚蠢”，请原谅我。我是算法时间复杂度的新手。

我知道如果我有 n 个数字并且我想对它们求和，它需要“n 步”，这意味着算法是 O(n) 或线性时间。即，所采取的步数随着输入数 n 线性增加。

如果我编写一个新算法，依次进行 5 次求和，我知道它是 O(5n) = O(n) 时间，仍然是线性的（根据 wikipedia）。

问题

如果我说 10 种不同的 O(n) 时间算法（求和、线性时间排序等）。然后我在 n 个输入上一个接一个地运行它们。

这是否意味着总体上运行 O(10n) = O(n)，线性时间？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

是的，对于任何常数 k，O(kn) = O(n)

如果您开始增加您的问题并确定您的 10 个线性操作实际上是 k 个线性操作，假设 k 是用户输入数组的长度，那么从 big-oh 中删除该信息是不正确的

【讨论】：

【解决方案2】：

最好从 big-O 的定义中解决它，然后在“证明”它正确后学习经验法则。

如果你有 10 个O(n) 算法，这意味着有 10 个常量 C₁ 到 C₁₀，这样对于每个算法 A_{i，对于足够大的 n，执行它所花费的时间小于 C_i * n。}

因此[*] 为足够大的 n 运行所有 10 种算法所需的时间小于：

C₁ * n + C₂ * n + ... + C₁₀ * n

= (C₁ + C₂ + ... + C₁₀) * n

所以总数也是O(n)，常数C₁ + ... + C₁₀。

经验法则：恒定数量的O(f(n)) 函数的总和是O(f(n))。

[*] 这一点的证明留给读者。提示：有 10 种不同的“足够”值需要考虑。

【讨论】：

【解决方案3】：

是的，O(10n) = O(n)。此外，O(C*n) = O(n)，其中 C 是常数。在这种情况下，C 为 10。如果 C 等于 n，它可能看起来像 O(n^2)，但事实并非如此。因为 C 是常数，所以不随 n 变化。

另外，请注意，在复杂性的总和中，最高阶或最复杂的阶被认为是整体复杂性。在这种情况下，它是 O(n) + O(n) ... + O(n) 十次。因此，它是 O(n)。

【讨论】：

正如 Steve Jessop 指出的，这 10 个单独的常数可能不同。此外，说最高阶项被“考虑”为整体复杂性可能有点误导，因为这表明这只是一个约定，而实际上它在数学上被 big-Oh 的定义所暗示。
例如假设一个算法需要时间 Dn^2 + En + F，其中 D 为正，E 和 F 不受限制。然后设置 C = D + E' + F'，其中如果 E >= 0，则 E' 为 E，否则为 0，对于 F' 也是如此。那么 Cn^2 = Dn^2 + E'n^2 + F'*n^2，对于任何 n >= 1，这是 >= Dn^2 + E*n + F 因为单独考虑的每一项都是>=，所以算法是O(n^2)，常数C。
是的，正确的。它在数学上是隐含的，而不仅仅是“考虑”。是我选择的词出错了，但我的意思是一样的。感谢您指出。