寻找离散对数的时间复杂度（蛮力）答案

【问题标题】：Time Complexity for finding Discrete Logarithm (brute-force)寻找离散对数的时间复杂度（蛮力）
【发布时间】：2018-01-12 19:11:07
【问题描述】：

我正在尝试了解以下算法的时间复杂度（Big-O），该算法找到x 使得g^x = y (mod p)（即找到以 g 为模 p 的 y 的离散对数）。

这是伪代码：

discreteLogarithm(y, g, p)
    y := y mod p
    a := g
    x := 1

    until a = y
        a := (a * g) mod p
        x++

    return x
end

我知道这种方法的时间复杂度是p 中的二进制位数的指数 - 但这意味着什么以及为什么它取决于 p？

我知道复杂度是由循环的数量决定的（until a = y），但是 p 是从哪里来的，这与二进制数字有关吗？

【问题讨论】：

对于正确的 g 值，a 将以狂野模式运行从 1 到 p-1 的所有值。因此，如果您尝试 y 的所有可能值，迭代次数将采用从 1 到 p-1 的所有可能值。平均而言，p/2。

标签： algorithm time-complexity big-o logarithm

【解决方案1】：

运行时间取决于 g mod p 的order。最坏的情况是 (p-1)/2 阶，即 O(p)。因此运行时间是 O(p) 模乘法。这里的关键是 p 有 log p 位，在这里我使用“log”来表示以 2 为底的对数。由于 p = 2^( log p ) - 数学恒等式 - 我们看到运行时间是 p 的位数的指数。为了更清楚，让我们使用 b=log p 来表示位数。最坏情况的运行时间是 O(2^b) 模乘法。模乘法需要 O(b^2) 时间，因此完整的运行时间是 O(2^b * b^2) 时间。 2^b 是主导词。

根据您的特定 p 和 g，订单可能比 p 小得多。然而，解析数论中的一些启发式方法表明，平均而言，它是 p 阶。

编辑：如果您不熟悉群论中的“顺序”概念，这里有简要说明。如果你不断将 g 与自身 mod p 相乘，它最终会变为 1。顺序是发生之前的乘数。

【讨论】：