将定价优化制定为 MILP答案

【问题标题】：Formulating pricing optimization as MILP将定价优化制定为 MILP
【发布时间】：2020-03-13 11:45:10
【问题描述】：

我不确定是否可以以线性方式制定以下问题，或者我是否应该尝试非线性优化它。

我希望为产品找到固定费用F 和可变价格p 的最佳组合。

我有给定数量的n 客户，他们每个人都想购买数量q_i，他们愿意为此支付总价格w_i。

我的目标是最大化收入：max sum( F + q_i * p) 为所有客户提供i in n

我的决策变量当然是F 和p，然后是n 个二进制变量s_i，表示客户是否购买。

我无法以一种允许客户不购买的方式来阐述这个问题和限制 - 一些客户的支付意愿非常低。

显然存在F + q_i * p <= w_i 的约束，但这仅适用于购买的客户。我想强加像s_i * (F + q_i * p) <= w_i这样的东西，但这显然不是线性的。

我希望以上内容有意义，并提前感谢您的帮助。

【问题讨论】：

这称为“固定收费问题”。这是一个众所周知的问题。可以使用 Google 找到标准配方。
感谢您的评论！我很可能是错的，但据我了解固定费用问题，它是关于最小化一些已知的固定和可验证的“费用”总和的成本 - 通常是生产或运输的成本。在我的情况下，“收费”本身就是一个决策变量，在我的情况下，必须确定价格以优化收入。

标签： mathematical-optimization linear-programming nonlinear-optimization mixed-integer-programming

【解决方案1】：

让我再试一次。

我们可以将问题表述为：

 max sum(i,  s(i)*(F+p*q(i))) 
     s(i)*(F+p*q(i)) ≤ w(i)
     for variables s(i) ∈ {0,1}, p ≥ 0, F ≥ 0

这可以线性化为：

 max sum(i, y(i))
     y(i) ≤ F+p*q(i)
     y(i) ≤ s(i)*w(i)
     y(i) ≥ F+p*q(i) - (1-s(i))*M
     for variables s(i) ∈ {0,1}, p ≥ 0, F ≥ 0, y(i) ≥ 0
     with M a large enough constant

许多求解器允许指标约束。这将简化事情：

 max sum(i, y(i))
     s(i) = 1 ==> y(i) = F+p*q(i)
     y(i) ≤ s(i)*w(i)  
     for variables s(i) ∈ {0,1}, p ≥ 0, F ≥ 0, y(i) ≥ 0

或使用两个指标约束::

 max sum(i, y(i))
     s(i) = 1 ==> y(i) = F+p*q(i)
     s(i) = 0 ==> y(i) = 0
     for variables s(i) ∈ {0,1}, p ≥ 0, F ≥ 0, y(i) ∈ [0,w(i)]

【讨论】：