用 MILP 中的移位制定二进制序列

Question

我想知道是否真的可以在 MILP/MIP 中编码带有旋转的（二进制）序列。

给定一个二进制序列 (0,1,1,0,0,0,0,1) 和变量 x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,
我想限制我的 MILP 程序，使其占用以下内容之一：

(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7) = (0,1,1,0,0,0,0,1) 或
(x7,x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6) = (0,1,1,0,0,0,0,1) 或
...
(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x0) = (0,1,1,0,0,0,0,1)

我知道只需扩展序列即可轻松解决旋转问题。但我发现自己创建了多个 MILP 实例，每个实例恰好对应一个案例。如果这是不可行的，为什么？

Answer 1

可以设计的方法有很多，但不清楚你将在什么情况下使用它。

这里是一个比较简单的：

A: Introduce n new binary variables: These describe the "root / first zero" decision

    s_x0, s_x1, s_x2, s_x3, s_x4, s_x5, s_x6, s_x7

B: Add a simplex-constraint / make those add up to 1: We do want a unique root!

    s_x0 + s_x1 + s_x2 + s_x3 + s_x4 + s_x5 + s_x6 + s_x7 = 1

C: Encode all implications for all possible roots which can be chosen

  for: s_x0  

    logic-form   |  milp-form

    s_x0 ->  x0    (1-s_x0) + x0     >= 1
    s_x0 ->  x1    (1-s_x0) + x1     >= 1
    s_x0 -> !x2    (1-s_x0) + (1-x2) >= 1
    s_x0 -> !x3    (1-s_x0) + (1-x3) >= 1
    s_x0 -> !x4    (1-s_x0) + (1-x4) >= 1
    s_x0 -> !x5    (1-s_x0) + (1-x5) >= 1
    s_x0 ->  x6    (1-s_x0) + x6     >= 1
    s_x0 -> !x7    (1-s_x0) + (1-x7) >= 1

  for: s_x1

    s_x1 -> !x0    (1-s_x1) + (1-x0) >= 1
    s_x1 ->  x1    (1-s_x1) + x1     >= 1
    s_x1 ->  x2    (1-s_x1) + x2     >= 1
    s_x1 -> !x3    (1-s_x1) + (1-x3) >= 1
    s_x1 -> !x4    (1-s_x1) + (1-x4) >= 1
    s_x1 -> !x5    (1-s_x1) + (1-x5) >= 1
    s_x1 -> !x6    (1-s_x1) + (1-x6) >= 1
    s_x1 ->  x7    (1-s_x1) + x7     >= 1

  for ......

这个：

• 基本上利用了问题背后的核心结构：
  • 我们需要在 n 个不同的模式中进行选择，并且必须强制执行效果
• 会变大（至少对于人类消费而言）
• 相当简单/易于理解和实施
• 但也应该提供一个不错的 LP 松弛
• 这种（非紧凑）公式还利用了 MILP 求解器（例如 clique-tables）的一些优势