简化模幂运算 C++答案

【问题标题】：Simplify modular exponentiation C++简化模幂运算 C++
【发布时间】：2014-02-26 22:17:42
【问题描述】：

我正在尝试为 RSA 加密系统编写解密函数，对于非常小数字，一切似乎都运行良好，但有时输出不正确（我认为原因可能是浮点错误或某种堆栈溢出）。

导致我出现问题的过程可以简化为 (11^23) mod 187，但我会包含完整的代码，以防有人想看到它。我知道答案应该是 88，因为它是 Simon Singh 博士在“密码书”附录 J 中使用的示例（我也使用 Wolfram Alpha 进行了检查）。但是，我得到了 149 的结果。但是，对于较小的数字，它与 Wolfram Alpha 一致。

我的想法是我需要使用以下知识来简化模幂运算：

a^b = a^c * a^d [ 其中 c + d = b ]

但是，我仍然不能 100% 确定这是否是这个问题，这是我的第一次堆栈溢出吗？（我仍然不是 100% 确定这意味着什么）。在任何人对我动手之前，不，这不是任何家庭作业，如果这个问题看起来微不足道，我很抱歉。如果每个人都认为这太难了，我愿意使用 gmp.h，但如果我完全诚实的话，我宁愿不这样做。我的代码如下（前半部分是计算私钥，我认为这与我遇到的问题无关，但我已经包含它以防万一我错了），我真的希望你们能帮助，谢谢非常提前。

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;

unsigned int modinv(unsigned int u, unsigned int v)
{
    unsigned int inv, u1, u3, v1, v3, t1, t3, q;
    int iter;

    u1 = 1;
    u3 = u;
    v1 = 0;
    v3 = v;

    iter = 1;

    while (v3 != 0)
    {

        q = u3 / v3;
        t3 = u3 % v3;
        t1 = u1 + q * v1;

        u1 = v1; v1 = t1; u3 = v3; v3 = t3;
        iter = -iter;
    }

    if (u3 != 1)
        return 0;
    if (iter < 0)
        inv = v - u1;
    else
        inv = u1;
    return inv;
}

int main()
{ long unsigned int p = 17;
long unsigned int q = 11;
long unsigned int phi = (p-1)*(q-1);
long unsigned int e = 7;
long unsigned int c = 11;
long unsigned int n = p*q;
long unsigned int d = modinv (e,phi);
    {
         cout << fmod (pow (c, d), n);
    }
    return 0;
}

【问题讨论】：

也许 11^n mod 187 是一个不好的例子，因为 11 是主要因素之一（187 = 11 x 17）？因此，对于 n >= 1 的 11^n mod 187，只有 16 个值，重复模式：11 121 22 55 44 110 88 33 176 66 165 132 143 77 99 154 || 11 121 ....所以 11^n mod 187 = 11^(1+((n-1) mod 16)) mod 187。
我已经对其进行了排序:) pow 函数使用的是浮点数而不是自然数，我必须编写自己的模幂运算，结果很好，谢谢

标签： c++ debugging encryption rsa modular-arithmetic

【解决方案1】：

11^23 大约是 2^80。只有不超过 2^53 的整数可以精确地表示为双浮点数。因此 fmod(pow(c, d), n)) 返回一个近似值。这不适合密码学。

添加您可以使用重复平方进行模幂运算。查看 Wikipedia 关于“平方求幂”的文章

【讨论】：

什么是合适的选择？
实现你自己的模幂函数。它相当简单，需要的行数比你的 modinv 少。
所以没有现有的方法可以做到这一点，我必须自己写吗？抱歉，这似乎是一个愚蠢的问题。
是的，您必须自己编写。大概有 14 行。
int modExp(int b, int e, int m) { int remainder; int x = 1; while (e != 0) { remainder = e % 2; e= e/2; if (remainder == 1) x = (x * b) % m; b= (b * b) % m; // New base equal b^2 % m } 这行得通，谢谢:)

【解决方案2】：

这篇关于 RSA 的 wiki 文章部分应该会有所帮助：

RSA decryption worked example

注意文章中包含中文余数算法的链接，其中包含欧几里得算法的链接：给定两个素数p和q，求两个整数a和b，使得a p + b q = 1，这也意味着（ a p) mod q == 1 和 (b q) mod p == 1。不清楚的是 a 或 b 将是负数，负值将用于余数算法的第一部分（文章声明使用欧几里得算法的值）。例如，如果 a 为负数，则 (a p) mod q == 1，但 ((a+q) p) mod q 也 == 1，因此 a 和 a+q 都可以认为是 p 的倒数数学模 q。

【讨论】：