如何检查数列是否不收敛？

Question

这是一个求职面试问题：

给定一个正整数n，你可以用这个函数生成一个数字序列：

f(n) = n/2 if n is even
f(n) = 3*n+1 if n is odd

所以对于 n=3，序列为：

3 10 5 16 8 4 2 1

如果你尝试几个正数，序列总是收敛到 1。

现在编写一个程序来检查 2-N（一个非常大的整数）之间的每个数字是否都会收敛到 1。

我的猜测是：如果序列不收敛，很可能会进入这样的循环：

...,k,3k+1,...,k,...

很容易检查以前是否生成过一个数字。我的面试官问：如果序列永远不会收敛并且永远不会进入循环怎么办？你如何检查？

如果我没有检测到这样的情况，就会导致堆栈溢出，因为我正在使用递归函数来解决这个问题。

如果它从不进入循环，我如何确定它最终不会收敛？说在奇/偶/奇/偶的几次迭代之后，数字不断变大，但是如果某个 3*N+1 恰好是 2 的幂，它直接收敛到 1 怎么办？

有什么想法吗？

Answer 1

这个序列是众所周知的3n+1 序列，其中有Collatz conjecture。这仍然是一个悬而未决的问题，因为这个问题非常难。

如果序列永远不会收敛并且永远不会进入循环怎么办？你如何检查？

此序列的行为未知。检查这一点的唯一方法是证明它。可悲的是，仍然没有证据。所以你可以希望它会收敛到 1（仍然没有找到 couterexample）。

所以你的程序应该是这样的：你开始迭代序列并将所有找到的值保存在一个集合中。如果你两次找到相同的值，你会停下来说有一个反例。如果对于所有值，您的程序停止并到达1，您已经证明2-N 范围内的所有值都收敛到1。如果你的程序没有停止，你就什么也说不出来。

Collat​​z 猜想的任何反例都必须包括 要么是无限发散轨迹，要么是一个不同于 琐碎的 (4; 2; 1) 循环。