如何将矢量旋转到与 Z 轴对齐的位置？

Question

我想将一个向量旋转到 Z 轴，它的方向是 Z 轴向后。所以如果向量是(1,1,1)，我的结果应该是(0,0,-sqrt(3))。

我的想法是两个步骤。第一步是将我的向量绕 X 轴旋转到 XZ 平面。第二步，将XZ平面中的向量绕Y轴旋转到Z轴。

这是我的代码：

GLfloat p[4] = {1,1,1,0}; //my vector, in homogeneous coordinates
GLfloat r[4]; //result vector to test

float theta1 = ((double)180/PI)*asin(p[1]/sqrt(p[0]*p[0]+p[1]*p[1]+p[2]*p[2])); 
//angle theta1 between the vector and XZ plane, is this right ??? I doubt it !!!
float theta2 = ((double)180/PI)*atan(p[0]/p[2]); 
//angle theta2 between the vector's projection in XZ plane and Z axis 

GLfloat m[16]; 
glMatrixMode(GL_MODELVIEW); // get the rotation matrix in model-view matrix
glPushMatrix();
glLoadIdentity();
glRotatef(theta1, 1,0,0); //rotate to the XZ plane
glRotatef(180-theta2,0,1,0); //rotate to the Z axis
glGetFloatv(GL_MODELVIEW_MATRIX, m); // m is column-major.
glPopMatrix();

// use the matrix multiply my vector and get the result vector r[4]
//my expectation is (0,0,-sqrt(3))
r[0] = p[0]*m[0]+p[1]*m[4]+p[2]*m[8]+p[3]*m[12];
r[1] = p[0]*m[1]+p[1]*m[5]+p[2]*m[9]+p[3]*m[13];
r[2] = p[0]*m[2]+p[1]*m[6]+p[2]*m[10]+p[3]*m[14];
r[3] = p[0]*m[3]+p[1]*m[7]+p[2]*m[11]+p[3]*m[15]; 

但是，结果 r[4] 不是我的预期。所以我认为我在上面的某些地方犯了一些错误。谁能给我一个提示？

Answer 1

旋转一个向量使其面向另一个向量：

1. 规范化它
2. 用他们的点积得到旋转角度的余弦
3. 取它们的叉积来找到正交旋转向量
4. 围绕新向量旋转 #2 中找到的角度

如果你记得| A x B | = sin(theta) 如果A 和B 都是标准化的，则可以省略第2 步。