Matlab中的偏微分方程（错误解）

Question

让我们定义函数x(t)，它的时间导数xdot(t)，以及依赖于它们的表达式T：

syms t x(t)
xdot(t) = diff(x,t);
T = (xdot + x)^2;

我们都同意T 对x 的偏导数是∂T/∂x = 2*(xdot+x)。但是，如果我在 Matlab 中这样做，我会得到错误的答案：

dT_dx  = subs( diff( subs(T,x,'x'), 'x' ), 'x', x);
>> dT_dx  = 2 x(t)

请注意，它会返回∂T/∂xdot 的正确答案：

dT_dxdot = subs( diff( subs(T,xdot,'x1'), 'x1' ), 'x1', xdot);
>> dT_dxdot = 2*x(t) + 2*diff(x(t), t) 

看起来Matlab在计算低阶变量（x）的导数时忽略了产品2*x*xdot，但在计算高阶变量的导数时它不会忽略这个产品（xdot ）。如果我们将表达式T 重新定义为T = (100 + x)^2，我们将得到∂T/∂x：

>> ans = 2 x(t) + 200

因此，在将xdot 替换为常数后，我们现在得到了正确答案。

评论：

• 为了使用diff函数，我使用了双重替换， 因为diff(T,x) 返回错误。我发现了这种方法 here。
• 在计算导数之前扩展表达式 T 不起作用 – 我们仍然得到错误的答案。
• 我也试过functionalDerivative函数，但是返回不正确 也回答。

问题

如何可靠地计算T，尤其是∂T/∂x 的偏导数和绝对导数？

subs( diff(subs() ) ) 是一个好方法，还是有更好的方法，如果有，它是什么？

Answer 1

正如您所注意到的，对抽象 symfun 求导，如 x(t) 与对符号变量求导不同，如 x（假设 x(t) 尚未在范围）——更多信息请参见my answer here。需要非常小心地替换，就像你正在做的那样。问题出现是因为x(t) 也被diff(x,t) (xdot(t)) 内部的'x' 替换，即代码中的第一个替换subs(T,x,'x') 已经返回了相对于您期望的错误结果。

你可以试试这个：

syms x(t)
xdot(t) = diff(x,t);
T = (xdot + x)^2;
x1 = {x,xdot};
x2 = {'x','xdot'};
dT_dx = subs(diff(subs(T,x1,x2),'x'),x2,x1)

返回2*x(t) + 2*diff(x(t), t)。