有向加权图游走

Question

我有一个连通的有向加权图。边权重表示顶点之间移动的概率；从顶点发出的所有边的权重总和为 1。该图包含两个汇点：A 和 B。对于图中的每个顶点，我想知道从那里开始的步行到达 A 的概率，对于 B 也是如此。这是什么问题？我该如何解决？

Answer 1

这个问题属于代数问题。对于从顶点开始的路径，到达 A 的概率是从其每个相邻顶点到达 A 的概率的平均值，由边权重加权。让我们用更具体的术语来表达。

令 P 为图的邻接矩阵。即P_i,j是从顶点i移动到顶点j的概率。设置 P_A,A = 1。如果我们将分配给每个顶点的概率向量乘以 P，则得到的向量包含每个顶点的邻居的加权平均值。我们正在寻找的是一个向量 v，使得 P v = v 和 v_A = 1。

这个向量v就是P的特征向量对应1的特征值。P总是有这样的特征值吗？幸运的是，Perron-Frobenius theorem 告诉我们确实如此，这是 P 的最大特征值。那么解决方法就是形成邻接矩阵P，找到其最大特征值对应的特征向量。

还有一个近似的解决方案。如果我们取一个顶点概率向量x，其中x_A = 1，其他元素设置为0，那么P当 k 趋于无穷时，^k x 将收敛到 v。对于 k 的小值，P^k 可能比特征向量更容易计算。

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示例

我们来看下面这个简单的图表：

如果我们按字母顺序对顶点进行排序，那么图对应的矩阵P为：

这个矩阵的特征值等于1，对应的特征向量是：[1 0 70/79 49/79]。也就是说，从C到达A的准确概率是70/79，从D到达A的准确概率是49/79。如果您计算出 B 的答案，结果是 9/79 和 30/79，这正是我们所期望的。

P¹⁶ [1 0 0 0] 的值约为 [1 0 0.886 0.62]，精确到小数点后 6 位。