有向图/网络中的随机游走

Question

我有一个（在实践中）多达 50,000 个顶点的加权图。给定一个顶点，我想根据所有相邻边的相对权重随机选择一个相邻顶点。

我应该如何将此图表存储在内存中，以便进行有效的选择？什么是最好的算法？它可以像每个顶点的键值存储一样简单，但这可能不适合最有效的算法。我还需要能够更新网络。

请注意，我一次只想迈出一个“步骤”。

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更正式地：给定一个加权的、有向的、可能完全的图，让 W(a,b) 为边 a->b 的权重，让 W_a 是来自 a 的所有边的总和。给定一个输入顶点v，我想随机选择一个顶点，其中选择顶点x的可能性是W(v,x) / W_v

示例：

说 W(v,a) = 2, W(v,b) = 1, W(v,c) = 1.

给定输入 v，该函数应以 0.5 的概率返回 a，以 0.25 的概率返回 b 或 c .

Answer 1

如果您担心生成随机游走的性能，您可以使用alias method 构建一个非常适合您选择随机传出边的要求的数据结构。开销只是你必须为每个有向边分配一个概率权重和一个所谓的别名边。

因此，对于每个音符，您都有一个传出边向量以及权重和别名边。然后您可以在恒定时间内选择随机边（仅数据结构的生成是相对于总边数或节点边数的线性时间）。在示例中，边由->[NODE] 表示，节点v 对应于上面给出的示例：

Node v
    ->a (p=1,   alias= ...)
    ->b (p=3/4, alias= ->a)
    ->c (p=3/4, alias= ->a)

Node a
    ->c (p=1/2, alias= ->b)
    ->b (p=1,   alias= ...)

...

如果您想选择一个出边（即下一个节点），您只需从区间 [0,1) 生成一个随机数 r uniform。

然后你会得到no=floor(N[v] * r) 和pv=frac(N[v] * r) 其中N[v] 是传出边的数量。 IE。您以完全相同的概率选择每条边（即节点v 示例中的 1/3）。

然后你将这条边的分配概率p 与生成的值pv 进行比较。如果pv 小于，则保持之前选择的边缘，否则选择其别名边缘。

如果我们有来自随机数生成器的r=0.6，我们有

no = floor(0.6*3) = 1 
pv = frac(0.6*3) = 0.8

因此我们选择第二个出边（注意索引从零开始），即

->b (p=3/4, alias= ->a)

并切换到别名边缘->a，因为p=3/4 < pv。

对于节点v的例子我们因此

• 以1/3*3/4 的概率选择边缘b（即无论何时no=1 和pv<3/4）
• 以1/3*3/4 的概率选择边缘c（即无论何时no=2 和pv<3/4）
• 以1/3 + 1/3*1/4 + 1/3*1/4 的概率选择边缘a（即无论何时no=0 或pv>=3/4）

Answer 2

理论上绝对最有效的做法是为每个节点存储连接节点及其权重的平衡二叉树（红黑树，或 BTree，或跳过列表都适合）的道德等价物，以及每边的总重量。然后你可以从 0 到 1 中选择一个随机数，乘以连接节点的总权重，然后进行二分查找。

但是，像这样遍历二叉树涉及很多选择，这些选择往往会造成流水线停顿。这是非常昂贵的。因此，在实践中，如果您使用一种高效的语言（例如 C++）进行编程，如果每个节点的连接边少于几百条，那么您将进入的边的线性列表（带有预先计算的总和）循环可能会更快。