使用 julia 和 gurobi 的二次约束 MIQP答案

【问题标题】：Quadratically constrained MIQP with julia and gurobi使用 julia 和 gurobi 的二次约束 MIQP
【发布时间】：2017-03-04 17:11:05
【问题描述】：

这是试图回答以下问题：https://matheducators.stackexchange.com/questions/11757/small-data-sets-with-integral-sample-standard-deviations

因此，以下代码的目的是查找具有整数标准差的小型数据集的示例。这可以表述为一个二次约束的混合整数二次程序，所以我尝试使用来自 Julia 的 Gurobin。以下是我的代码：

using JuMP  
using Gurobi

m = Model(solver = GurobiSolver() )
@variable(m,  0<= x[1:20] <= 100,  Int)
@variable(m,  Gj,  Int)
@constraint(m,  Gj == sum(x[1:20])/20 )
@variable(m,  Var,  Int)
@constraint(m,  Var == sum( (x[1:20]-Gj).^2/19) )
@variable(m,  sd,  Int)
@constraint(m, sd * sd == Var)
### We need some restrictions to avoid all equal, < or zero,  solutions:
@constraint(m,  sd >= 5)
@objective(m, Min, sd)

print(m)

status = solve(m)

println("Objective value: ", getobjectivevalue(m) )

x = getvalue(x)

运行此结果：

ERROR: Gurobi.GurobiError(10021, "Quadratic equality constraints")
Stacktrace:
 [1] optimize(::Gurobi.Model) at /home/kjetil/.julia/v0.6/Gurobi/src/grb_solve.jl:7
 [2] optimize!(::Gurobi.GurobiMathProgModel) at /home/kjetil/.julia/v0.6/Gurobi/src/GurobiSolverInterface.jl:294
 [3] #solve#101(::Bool, ::Bool, ::Bool, ::Array{Any,1}, ::Function, ::JuMP.Model) at /home/kjetil/.julia/v0.6/JuMP/src/solvers.jl:173
 [4] solve(::JuMP.Model) at /home/kjetil/.julia/v0.6/JuMP/src/solvers.jl:148

有什么想法吗？

【问题讨论】：

标签： julia gurobi julia-jump

【解决方案1】：

像 Gurobi Optimizer 这样的数学编程求解器无法求解具有二次等式约束的模型。 Here are the types of constraints that Gurobi Optimizer can solve。要使用 Gurobi Optimizer 求解模型，您必须将约束转换为其中一种形式，例如二次不等式约束。

【讨论】：

我不明白：来自here，看来这是可能的，但我得到了同样的错误。我想念什么？另请参阅The optional sense string defines the sense of the quadratic constrint. Allowed values are '<', '=' or '>'. If not present, the default sense is '<'. It is stored in model$quadcon[[i]]$sense. （没有 sense 参数，我的代码会运行...）

【解决方案2】：

主要问题是，一般来说，二次等式不是凸的，并且大多数求解器仅适用于凸问题（加上整数约束）。两个二进制变量的乘积很容易线性化（相当于逻辑与），一个二进制变量和一个连续变量的乘积也很容易；剩下的就没那么容易了。

从 Gurobi 9 开始，您可以解决非凸双线性问题，尤其是具有二次等式约束的问题。 You just have to add the right parameter。对于 Gurobi.jl，如果 m 是您的 JuMP 模型，您可以这样做：

set_optimizer_attribute(m, "NonConvex", 2)

【讨论】：