MATLAB 中的 Gauss-Seidel 方法答案

【问题标题】：Gauss-Seidel Method in MATLABMATLAB 中的 Gauss-Seidel 方法
【发布时间】：2017-02-02 21:36:49
【问题描述】：

我正在尝试在 MATLAB 中实现 Gauss-Seidel 方法。但是我的代码中有两个主要错误，我无法修复它们：

我的代码在小矩阵上收敛得很好，但在大矩阵上却从不收敛。
代码进行了冗余迭代。如何防止重复迭代？

N=5;
A=rand(N,N);
b=rand(N,1);
x = zeros(N,1);
sum = 0;
xold = x;
tic
for n_iter=1:1000
    for i = 1:N
        for j = 1:N
            if (j ~= i)
                sum = sum + (A(i,j)/A(i,i)) * xold(j);
            else
                continue;
            end
        end
        x(i) = -sum + b(i)/A(i,i);
        sum = 0;
    end
    if(abs(x(i)-xold(j))<0.001)
        break;
    end
    xold = x;
end
gs_time=toc;
prompt1='Gauss-Seidel Method Time';
prompt2='x Matrix';
disp(prompt2);
disp(x);
disp(prompt1);
disp(gs_time);

【问题讨论】：

标签： matlab numerical-methods gauss

【解决方案1】：

首先，一般性。 Gauß-Seidel 和 Jacobi 方法 仅适用于对角占优矩阵，不适用于通用随机矩阵。因此，要获得正确的测试示例，您实际上需要建设性地确保该条件，例如通过

A = rand(N,N)+N*eye(N)

或类似的。

否则，该方法将在某些或所有组件中趋向无穷大。

现在谈谈你的实现中的一些其他奇怪之处。是什么

if(abs(x(i)-xold(j))<0.001)

是什么意思？请注意，该指令在循环之外，其中i 和j 是迭代变量，因此索引值可能是未定义。由于惯性，它们会意外地都具有值N，所以这个标准至少有点意义。

您要测试的是整个向量差异的一些规范，因此使用sum(abs(x-xold))/N 或max(abs(x-xold))。在右侧，您可能希望与应用于x 的相同范数结构相乘，以便测试相对误差，同时考虑问题的规模。

根据给定代码中的指令，您正在实现 Jacobi 迭代，首先计算所有更新，然后推进迭代向量。对于 Gauß-Seidel 变体，您需要就地替换单个组件，以便立即使用新计算的值。

此外，您可以缩短/简化内部循环

xold = x;
for i = 1:N
    sum = b(i);
    for j = 1:N
        if (j ~= i)
            sum = sum - A(i,j) * x(j);
        end
    end
    x(i) = sum/A(i,i);
end
err = norm(x-xold)

使用matlab的语言特性甚至更短

xold = x
for i = 1:N
    J = [1:(i-1) (i+1):N];
    x(i) = ( b(i) - A(i,J)*x(J) )/A(i,i);
end   
err = norm(x-xold)

【讨论】：

【解决方案2】：

%Gauss-seidal method for three equations
clc;
x1=0;
x2=0;
x3=0;
m=input('Enter number of iteration');
for i=1:1:m
    x1(i+1)=(-0.01-0.52*x2(i)-x3(i))/0.3
    x2(i+1)=0.67-1.9*x3(i)-0.5*x1(i+1)
    x3(i+1)=(0.44-0.1*x1(i+1)-0.3*x2(i+1))/0.5
    er1=abs((x1(i+1)-x1(i))/x1(i+1))*100
    er2=abs((x2(i+1)-x2(i))/x2(i+1))*100
    er3=abs((x3(i+1)-x3(i))/x3(i+1))*100

    if er1<=0.01
       er2<=0.01
       er3<=0.01
        break;
    end
end

【讨论】：