给定一些美元价值时如何找到所有硬币组合[关闭]答案

【问题标题】：How to find all combinations of coins when given some dollar value [closed]给定一些美元价值时如何找到所有硬币组合[关闭]
【发布时间】：2010-11-09 13:35:46
【问题描述】：

我找到了几个月前为面试准备而编写的一段代码。

根据我的评论，它试图解决这个问题：

给定一些以美分为单位的美元价值（例如 200 = 2 美元，1000 = 10 美元），找出构成美元价值的所有硬币组合。只允许使用便士 (1 美分)、镍 (5 美分)、一角硬币 (10 美分) 和 25 美分 (25 美分)。

例如，如果给出 100，答案应该是：

4 quarter(s) 0 dime(s) 0 nickel(s) 0 pennies  
3 quarter(s) 1 dime(s) 0 nickel(s) 15 pennies  
etc.

我相信这可以通过迭代和递归的方式来解决。我的递归解决方案有很多错误，我想知道其他人将如何解决这个问题。这个问题的难点在于使其尽可能高效。

【问题讨论】：

@akappa：便士 = 1 美分；镍 = 5 美分；一角钱 = 10 美分；季度 = 25 美分 :)
@John T：打码高尔夫？我从来没有听说过这个词！无论如何，我希望看到一些有趣的答案，因为 SO 社区可以解决任何问题
我回家后也会尝试发布我的答案...仍在工作，我不应该在 SO 上花费太多时间。
@blee 代码高尔夫是指使用您选择的编程语言以尽可能少的字符解决问题。以下是本网站上已完成的一些操作：stackoverflow.com/search?q=code+golf
code-golf => stackoverflow.com/questions/tagged/code-golf

标签： algorithm recursion puzzle coin-change

【解决方案1】：

很久以前我研究过一次，你可以阅读我的little write-up on it。这是Mathematica source。

通过使用生成函数，您可以获得问题的封闭形式的常数时间解。 Graham、Knuth 和 Patashnik 的 具体数学 就是为此而写的书，其中包含对该问题的相当广泛的讨论。本质上，您定义了一个多项式，其中第 n 个系数是为 n 美元进行更改的方式的数量。

文章的第 4-5 页展示了如何使用 Mathematica（或任何其他方便的计算机代数系统）在几秒钟内用三行代码计算出 10^10^6 美元的答案。

（这已经足够久远了，在 75Mhz Pentium 上只需要几秒钟......）

【讨论】：

好答案，但有一些小问题：请注意 (1) 这给出了 number 种方式，而由于某种原因，该问题要求提供所有方式的实际集合。当然，不可能在多项式时间内找到集合，因为输出本身具有超多项式多项式 (2) 生成函数是否是“封闭形式”是有争议的（参见 Herbert Wilf 的精彩著作 Generatingfunctionology : math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html) 如果你的意思是像 (1+√5)^n 这样的表达式，计算需要 Ω(log n) 时间，而不是恒定时间。
对动态规划的温和介绍。另外，我鼓励任何有序列问题的人阅读generatingfunctionology。
非常感谢安德鲁...这个解释帮助了我很多...在下面发布 scala 函数..如果有人需要它
我相信一开始的问题需要稍微修正，因为它问的是“......使用 1 美分、10 美分、25 美分、50 美分和 100 美分硬币？”但是随后的文章将集合a 定义为f 但a = {1,5,10,25,50,100} 的域。美分硬币列表中应该有一个 5-。否则写得很棒，谢谢！
@rbrtl 哇，你是对的，感谢您注意到这一点！我会更新它...

【解决方案2】：

注意：这里只显示路数。

Scala 函数：

def countChange(money: Int, coins: List[Int]): Int =
  if (money == 0) 1
  else if (coins.isEmpty || money < 0) 0
  else countChange(money - coins.head, coins) + countChange(money, coins.tail)

【讨论】：

真的有一种方法可以改变0吗？我想没有办法做到这一点。
源于多项式解的数量n1 * coins(0) + n2 * coins(1) + ... + nN * coins(N-1) = money。因此对于money=0 和coins=List(1,2,5,10)，组合(n1, n2, n3, n4) 的计数为1，解决方案为(0, 0, 0, 0)。
我无法理解为什么这个实现有效。有人可以解释一下背后的算法吗？
这绝对是coursera scala课程练习1第3题的准确答案。
我相信，如果money == 0 但coins.isEmpty，它不应该算作一个sol'n。因此，如果 coins.isEmpty || money < 0 条件首先被 ck'd，则算法可能会更好地服务。

【解决方案3】：

我倾向于递归解决方案。您有一些面额列表，如果最小的面额可以平分任何剩余的货币金额，这应该可以正常工作。

基本上，您从最大面额到最小面额。
递归，

您当前有一个要填写的总数，以及一个最大的面额（还剩 1 个以上）。如果只剩下 1 个面额，则只有一种方法可以填充总数。您可以使用当前面额的 0 到 k 个副本，这样 k * cur denomination
对于 0 到 k，使用修改后的总和新的最大面额调用函数。
将结果从 0 加到 k。这就是您可以从当前面额向下填充总数的多少种方式。返回此号码。

这是我提出的问题的 python 版本，售价 200 美分。我有 1463 种方式。此版本会打印所有组合和最终总数。

#!/usr/bin/python

# find the number of ways to reach a total with the given number of combinations

cents = 200
denominations = [25, 10, 5, 1]
names = {25: "quarter(s)", 10: "dime(s)", 5 : "nickel(s)", 1 : "pennies"}

def count_combs(left, i, comb, add):
    if add: comb.append(add)
    if left == 0 or (i+1) == len(denominations):
        if (i+1) == len(denominations) and left > 0:
           if left % denominations[i]:
               return 0
           comb.append( (left/denominations[i], demoninations[i]) )
           i += 1
        while i < len(denominations):
            comb.append( (0, denominations[i]) )
            i += 1
        print(" ".join("%d %s" % (n,names[c]) for (n,c) in comb))
        return 1
    cur = denominations[i]
    return sum(count_combs(left-x*cur, i+1, comb[:], (x,cur)) for x in range(0, int(left/cur)+1))

count_combs(cents, 0, [], None)

【讨论】：

没跑过，但通过你的逻辑，它是有道理的:)
您可以将函数的最后两行替换为“return sum(count_combs(...) for ...)” - 这样列表根本不会被具体化。 :)
感谢您的提示。我一直对收紧代码的方法很感兴趣。
正如another question 中所讨论的，如果denominations 的列表没有1 作为最后一个值，则此代码将给出不正确的输出。您可以在最里面的 if 块中添加少量代码来修复它（正如我在对另一个问题的回答中所描述的那样）。

【解决方案4】：

Scala 函数：

def countChange(money: Int, coins: List[Int]): Int = {

def loop(money: Int, lcoins: List[Int], count: Int): Int = {
  // if there are no more coins or if we run out of money ... return 0 
  if ( lcoins.isEmpty || money < 0) 0
  else{
    if (money == 0 ) count + 1   
/* if the recursive subtraction leads to 0 money left - a prefect division hence return count +1 */
    else
/* keep iterating ... sum over money and the rest of the coins and money - the first item and the full set of coins left*/
      loop(money, lcoins.tail,count) + loop(money - lcoins.head,lcoins, count)
  }
}

val x = loop(money, coins, 0)
Console println x
x
}

【讨论】：

谢谢！这是一个很好的开始。但是，我认为当“钱”开始为 0 时这会失败 :)。

【解决方案5】：

这里有一些绝对简单的 C++ 代码来解决要求显示所有组合的问题。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main(int argc, char *argv[])
{
    if (argc != 2)
    {
        printf("usage: change amount-in-cents\n");
        return 1;
    }

    int total = atoi(argv[1]);

    printf("quarter\tdime\tnickle\tpenny\tto make %d\n", total);

    int combos = 0;

    for (int q = 0; q <= total / 25; q++)
    {
        int total_less_q = total - q * 25;
        for (int d = 0; d <= total_less_q / 10; d++)
        {
            int total_less_q_d = total_less_q - d * 10;
            for (int n = 0; n <= total_less_q_d / 5; n++)
            {
                int p = total_less_q_d - n * 5;
                printf("%d\t%d\t%d\t%d\n", q, d, n, p);
                combos++;
            }
        }
    }

    printf("%d combinations\n", combos);

    return 0;
}

但我对仅计算组合数量的子问题非常感兴趣。我怀疑它有一个封闭形式的方程。

【讨论】：

这肯定是 C，而不是 C++。
@George Phillips 你能解释一下吗？
我认为这很简单。基本上，这个想法是迭代所有季度（使用 0,1,2 .. max），然后根据使用的季度等遍历所有角钱。
这个解决方案的缺点是：如果有 50-cent、100-cent、500-cent 硬币，那么我们必须使用 6 级循环......
这很糟糕，如果你有一个动态的面额，或者你想添加另一个面额，那么这将不起作用。

【解决方案6】：

子问题是一个典型的动态规划问题。

/* Q: Given some dollar value in cents (e.g. 200 = 2 dollars, 1000 = 10 dollars),
      find the number of combinations of coins that make up the dollar value.
      There are only penny, nickel, dime, and quarter.
      (quarter = 25 cents, dime = 10 cents, nickel = 5 cents, penny = 1 cent) */
/* A:
Reference: http://andrew.neitsch.ca/publications/m496pres1.nb.pdf
f(n, k): number of ways of making change for n cents, using only the first
         k+1 types of coins.

          +- 0,                        n < 0 || k < 0
f(n, k) = |- 1,                        n == 0
          +- f(n, k-1) + f(n-C[k], k), else
 */

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int C[] = {1, 5, 10, 25};

// Recursive: very slow, O(2^n)
int f(int n, int k)
{
    if (n < 0 || k < 0)
        return 0;

    if (n == 0)
        return 1;

    return f(n, k-1) + f(n-C[k], k); 
}

// Non-recursive: fast, but still O(nk)
int f_NonRec(int n, int k)
{
    vector<vector<int> > table(n+1, vector<int>(k+1, 1));

    for (int i = 0; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 0; j <= k; ++j)
        {
            if (i < 0 || j < 0) // Impossible, for illustration purpose
            {
                table[i][j] = 0;
            }
            else if (i == 0 || j == 0) // Very Important
            {
                table[i][j] = 1;
            }
            else
            {
                // The recursion. Be careful with the vector boundary
                table[i][j] = table[i][j-1] + 
                    (i < C[j] ? 0 : table[i-C[j]][j]);
            }
        }
    }

    return table[n][k];
}

int main()
{
    cout << f(100, 3) << ", " << f_NonRec(100, 3) << endl;
    cout << f(200, 3) << ", " << f_NonRec(200, 3) << endl;
    cout << f(1000, 3) << ", " << f_NonRec(1000, 3) << endl;

    return 0;
}

【讨论】：

您的动态解决方案要求 k 是 C 的长度减去 1。有点混乱。您可以轻松更改它以支持 C 的实际长度。

【解决方案7】：

代码是用Java来解决这个问题的，它也可以工作......这个方法可能不是一个好主意，因为循环太多，但它确实是一个直接的方法。

public class RepresentCents {

    public static int sum(int n) {

        int count = 0;
        for (int i = 0; i <= n / 25; i++) {
            for (int j = 0; j <= n / 10; j++) {
                for (int k = 0; k <= n / 5; k++) {
                    for (int l = 0; l <= n; l++) {
                        int v = i * 25 + j * 10 + k * 5 + l;
                        if (v == n) {
                            count++;
                        } else if (v > n) {
                            break;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return count;
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(sum(100));
    }
}

【讨论】：

【解决方案8】：

这是一个非常古老的问题，但我在 java 中提出了一个递归解决方案，它似乎比其他所有解决方案都小，所以这里 -

 public static void printAll(int ind, int[] denom,int N,int[] vals){
    if(N==0){
        System.out.println(Arrays.toString(vals));
        return;
    }
    if(ind == (denom.length))return;             
    int currdenom = denom[ind];
    for(int i=0;i<=(N/currdenom);i++){
        vals[ind] = i;
        printAll(ind+1,denom,N-i*currdenom,vals);
    }
 }

改进：

  public static void printAllCents(int ind, int[] denom,int N,int[] vals){
        if(N==0){
            if(ind < denom.length) {
                for(int i=ind;i<denom.length;i++)
                    vals[i] = 0;
            }
            System.out.println(Arrays.toString(vals));
            return;
        }
        if(ind == (denom.length)) {
            vals[ind-1] = 0;
            return;             
        }

        int currdenom = denom[ind];
        for(int i=0;i<=(N/currdenom);i++){ 
                vals[ind] = i;
                printAllCents(ind+1,denom,N-i*currdenom,vals);
        }
     }

【讨论】：

【解决方案9】：

让 C(i,J) 使用集合 J 中的值生成 i 美分的组合集合。

你可以这样定义C：

（first(J) 以一种确定的方式获取集合中的一个元素）

事实证明，这是一个非常递归的函数……如果你使用记忆化，效率相当高；）

【讨论】：

是的，这（某种意义上的“动态规划”）将是最佳解决方案。
你是对的：把 J 作为一个列表而不是一个集合：然后 first(J) 给你第一个元素， J \ first(J) 给你列表的其余部分.
这是什么形式的数学？

【解决方案10】：

semi-hack 解决独特组合问题 - 强制降序：

$denoms = [1,5,10,25]
def all_combs(sum,last)
  如果 sum == 0 则返回 1
  返回 $denoms.select{|d| d &le sum && d &le last}.inject(0) {|total,denom|
           总计+all_combs(sum-denom,denom)}
结尾

这将运行缓慢，因为它不会被记忆，但你明白了。

【讨论】：

【解决方案11】：

# short and sweet with O(n) table memory    

#include <iostream>
#include <vector>

int count( std::vector<int> s, int n )
{
  std::vector<int> table(n+1,0);

  table[0] = 1;
  for ( auto& k : s )
    for(int j=k; j<=n; ++j)
      table[j] += table[j-k];

  return table[n];
}

int main()
{
  std::cout <<  count({25, 10, 5, 1}, 100) << std::endl;
  return 0;
}

【讨论】：

【解决方案12】：

这是我在 Python 中的答案。它不使用递归：

def crossprod (list1, list2):
    output = 0
    for i in range(0,len(list1)):
        output += list1[i]*list2[i]

    return output

def breakit(target, coins):
    coinslimit = [(target / coins[i]) for i in range(0,len(coins))]
    count = 0
    temp = []
    for i in range(0,len(coins)):
        temp.append([j for j in range(0,coinslimit[i]+1)])


    r=[[]]
    for x in temp:
        t = []
        for y in x:
            for i in r:
                t.append(i+[y])
        r = t

    for targets in r:
        if crossprod(targets, coins) == target:
            print targets
            count +=1
    return count




if __name__ == "__main__":
    coins = [25,10,5,1]
    target = 78
    print breakit(target, coins)

示例输出

    ...
    1 ( 10 cents)  2 ( 5 cents)  58 ( 1 cents)  
    4 ( 5 cents)  58 ( 1 cents)  
    1 ( 10 cents)  1 ( 5 cents)  63 ( 1 cents)  
    3 ( 5 cents)  63 ( 1 cents)  
    1 ( 10 cents)  68 ( 1 cents)  
    2 ( 5 cents)  68 ( 1 cents)  
    1 ( 5 cents)  73 ( 1 cents)  
    78 ( 1 cents)  
    Number of solutions =  121

【讨论】：

【解决方案13】：

var countChange = function (money,coins) {
  function countChangeSub(money,coins,n) {
    if(money==0) return 1;
    if(money<0 || coins.length ==n) return 0;
    return countChangeSub(money-coins[n],coins,n) + countChangeSub(money,coins,n+1);
  }
  return countChangeSub(money,coins,0);
}

【讨论】：

【解决方案14】：

两者：从高到低遍历所有面额，取其中一个面额，从要求的总数中减去，然后在余数上递归（将可用面额限制为等于或低于当前迭代值。）

【讨论】：

【解决方案15】：

如果货币系统允许，一个简单的greedy algorithm 会尽可能多地获取每种硬币，从价值最高的货币开始。

否则，需要动态规划来快速找到最优解，因为这个问题本质上是knapsack problem。

例如，如果一个货币系统有硬币：{13, 8, 1}，贪婪的解决方案会将 24 的零钱变成{13, 8, 1, 1, 1}，但真正的最优解决方案是{8, 8, 8}

编辑：我认为我们正在以最佳方式进行更改，而不是列出所有更改一美元的方法。我最近的采访询问了如何做出改变，所以我在读完这个问题之前就跳到了前面。

【讨论】：

问题不一定是 1 美元——它可能是 2 或 23，所以你的解决方案仍然是唯一正确的。

【解决方案16】：

我知道这是一个非常古老的问题。我正在寻找正确的答案，但找不到任何简单而令人满意的东西。花了我一些时间，但能够记下一些东西。

function denomination(coins, original_amount){
    var original_amount = original_amount;
    var original_best = [ ];

    for(var i=0;i<coins.length; i++){
      var amount = original_amount;
      var best = [ ];
      var tempBest = [ ]
      while(coins[i]<=amount){
        amount = amount - coins[i];
        best.push(coins[i]);
      }
      if(amount>0 && coins.length>1){
        tempBest = denomination(coins.slice(0,i).concat(coins.slice(i+1,coins.length)), amount);
        //best = best.concat(denomination(coins.splice(i,1), amount));
      }
      if(tempBest.length!=0 || (best.length!=0 && amount==0)){
        best = best.concat(tempBest);
        if(original_best.length==0 ){
          original_best = best
        }else if(original_best.length > best.length ){
          original_best = best;
        }  
      }
    }
    return original_best;  
  }
  denomination( [1,10,3,9] , 19 );

这是一个 javascript 解决方案并使用递归。

【讨论】：

这个解决方案只能找到一个面额。问题是找到“所有”教派。

【解决方案17】：

在 Scala 编程语言中，我会这样做：

 def countChange(money: Int, coins: List[Int]): Int = {

       money match {
           case 0 => 1
           case x if x < 0 => 0
           case x if x >= 1 && coins.isEmpty => 0
           case _ => countChange(money, coins.tail) + countChange(money - coins.head, coins)

       }

  }

【讨论】：

【解决方案18】：

这是一个简单的递归算法，它先取一张钞票，然后递归取一张较小的钞票，直到达到总和，然后再取另一张相同面额的钞票，然后再次递归。请参阅下面的示例输出以进行说明。

var bills = new int[] { 100, 50, 20, 10, 5, 1 };

void PrintAllWaysToMakeChange(int sumSoFar, int minBill, string changeSoFar)
{
    for (int i = minBill; i < bills.Length; i++)
    {
        var change = changeSoFar;
        var sum = sumSoFar;

        while (sum > 0)
        {
            if (!string.IsNullOrEmpty(change)) change += " + ";
            change += bills[i];

            sum -= bills[i]; 
            if (sum > 0)
            {
                PrintAllWaysToMakeChange(sum, i + 1, change);
            }
        }

        if (sum == 0)
        {
            Console.WriteLine(change);
        }
    }
}

PrintAllWaysToMakeChange(15, 0, "");

打印以下内容：

10 + 5
10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
5 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
5 + 5 + 5
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

【讨论】：

【解决方案19】：

呃，我现在觉得自己很愚蠢。下面有一个过于复杂的解决方案，我将保留它，因为它毕竟是一个解决方案。一个简单的解决方案是：

// Generate a pretty string
val coinNames = List(("quarter", "quarters"), 
                     ("dime", "dimes"), 
                     ("nickel", "nickels"), 
                     ("penny", "pennies"))
def coinsString = 
  Function.tupled((quarters: Int, dimes: Int, nickels:Int, pennies: Int) => (
    List(quarters, dimes, nickels, pennies) 
    zip coinNames // join with names
    map (t => (if (t._1 != 1) (t._1, t._2._2) else (t._1, t._2._1))) // correct for number
    map (t => t._1 + " " + t._2) // qty name
    mkString " "
  ))

def allCombinations(amount: Int) = 
 (for{quarters <- 0 to (amount / 25)
      dimes <- 0 to ((amount - 25*quarters) / 10)
      nickels <- 0 to ((amount - 25*quarters - 10*dimes) / 5)
  } yield (quarters, dimes, nickels, amount - 25*quarters - 10*dimes - 5*nickels)
 ) map coinsString mkString "\n"

这是另一个解决方案。该解决方案基于观察到每个硬币都是其他硬币的倍数，因此可以用它们来表示它们。

// Just to make things a bit more readable, as these routines will access
// arrays a lot
val coinValues = List(25, 10, 5, 1)
val coinNames = List(("quarter", "quarters"), 
                     ("dime", "dimes"), 
                     ("nickel", "nickels"), 
                     ("penny", "pennies"))
val List(quarter, dime, nickel, penny) = coinValues.indices.toList


// Find the combination that uses the least amount of coins
def leastCoins(amount: Int): Array[Int] =
  ((List(amount) /: coinValues) {(list, coinValue) =>
    val currentAmount = list.head
    val numberOfCoins = currentAmount / coinValue
    val remainingAmount = currentAmount % coinValue
    remainingAmount :: numberOfCoins :: list.tail
  }).tail.reverse.toArray

// Helper function. Adjust a certain amount of coins by
// adding or subtracting coins of each type; this could
// be made to receive a list of adjustments, but for so
// few types of coins, it's not worth it.
def adjust(base: Array[Int], 
           quarters: Int, 
           dimes: Int, 
           nickels: Int, 
           pennies: Int): Array[Int] =
  Array(base(quarter) + quarters, 
        base(dime) + dimes, 
        base(nickel) + nickels, 
        base(penny) + pennies)

// We decrease the amount of quarters by one this way
def decreaseQuarter(base: Array[Int]): Array[Int] =
  adjust(base, -1, +2, +1, 0)

// Dimes are decreased this way
def decreaseDime(base: Array[Int]): Array[Int] =
  adjust(base, 0, -1, +2, 0)

// And here is how we decrease Nickels
def decreaseNickel(base: Array[Int]): Array[Int] =
  adjust(base, 0, 0, -1, +5)

// This will help us find the proper decrease function
val decrease = Map(quarter -> decreaseQuarter _,
                   dime -> decreaseDime _,
                   nickel -> decreaseNickel _)

// Given a base amount of coins of each type, and the type of coin,
// we'll produce a list of coin amounts for each quantity of that particular
// coin type, up to the "base" amount
def coinSpan(base: Array[Int], whichCoin: Int) = 
  (List(base) /: (0 until base(whichCoin)).toList) { (list, _) =>
    decrease(whichCoin)(list.head) :: list
  }

// Generate a pretty string
def coinsString(base: Array[Int]) = (
  base 
  zip coinNames // join with names
  map (t => (if (t._1 != 1) (t._1, t._2._2) else (t._1, t._2._1))) // correct for number
  map (t => t._1 + " " + t._2)
  mkString " "
)

// So, get a base amount, compute a list for all quarters variations of that base,
// then, for each combination, compute all variations of dimes, and then repeat
// for all variations of nickels.
def allCombinations(amount: Int) = {
  val base = leastCoins(amount)
  val allQuarters = coinSpan(base, quarter)
  val allDimes = allQuarters flatMap (base => coinSpan(base, dime))
  val allNickels = allDimes flatMap (base => coinSpan(base, nickel))
  allNickels map coinsString mkString "\n"
}

所以，以 37 个硬币为例：

scala> println(allCombinations(37))
0 quarter 0 dimes 0 nickels 37 pennies
0 quarter 0 dimes 1 nickel 32 pennies
0 quarter 0 dimes 2 nickels 27 pennies
0 quarter 0 dimes 3 nickels 22 pennies
0 quarter 0 dimes 4 nickels 17 pennies
0 quarter 0 dimes 5 nickels 12 pennies
0 quarter 0 dimes 6 nickels 7 pennies
0 quarter 0 dimes 7 nickels 2 pennies
0 quarter 1 dime 0 nickels 27 pennies
0 quarter 1 dime 1 nickel 22 pennies
0 quarter 1 dime 2 nickels 17 pennies
0 quarter 1 dime 3 nickels 12 pennies
0 quarter 1 dime 4 nickels 7 pennies
0 quarter 1 dime 5 nickels 2 pennies
0 quarter 2 dimes 0 nickels 17 pennies
0 quarter 2 dimes 1 nickel 12 pennies
0 quarter 2 dimes 2 nickels 7 pennies
0 quarter 2 dimes 3 nickels 2 pennies
0 quarter 3 dimes 0 nickels 7 pennies
0 quarter 3 dimes 1 nickel 2 pennies
1 quarter 0 dimes 0 nickels 12 pennies
1 quarter 0 dimes 1 nickel 7 pennies
1 quarter 0 dimes 2 nickels 2 pennies
1 quarter 1 dime 0 nickels 2 pennies

【讨论】：

【解决方案20】：

This blog entry of mine 解决了来自XKCD comic 的数字的类似背包问题。对 items dict 和 exactcost 值的简单更改也将为您的问题提供所有解决方案。

如果问题是找到成本最低的找零，那么对于硬币和目标金额的某些组合，使用尽可能多的最高价值硬币的天真贪心算法很可能会失败。例如，如果有值 1、3 和 4 的硬币；并且目标数量是 6，那么贪心算法可能会建议价值 4、1 和 1 的三个硬币，但很容易看出您可以使用两个硬币，每个硬币的价值为 3。

稻田。

【讨论】：

【解决方案21】：

public class Coins {

static int ac = 421;
static int bc = 311;
static int cc = 11;

static int target = 4000;

public static void main(String[] args) {


    method2();
}

  public static void method2(){
    //running time n^2

    int da = target/ac;
    int db = target/bc;     

    for(int i=0;i<=da;i++){         
        for(int j=0;j<=db;j++){             
            int rem = target-(i*ac+j*bc);               
            if(rem < 0){                    
                break;                  
            }else{                  
                if(rem%cc==0){                  
                    System.out.format("\n%d, %d, %d ---- %d + %d + %d = %d \n", i, j, rem/cc, i*ac, j*bc, (rem/cc)*cc, target);                     
                }                   
            }                   
        }           
    }       
}
 }

【讨论】：

【解决方案22】：

我在 O'reily 的“Python For Data Analysis”一书中找到了这段简洁的代码。它使用惰性实现和 int 比较，我认为它可以修改为使用小数的其他面额。告诉我它是如何为您工作的！

def make_change(amount, coins=[1, 5, 10, 25], hand=None):
 hand = [] if hand is None else hand
 if amount == 0:
 yield hand
 for coin in coins:
 # ensures we don't give too much change, and combinations are unique
 if coin > amount or (len(hand) > 0 and hand[-1] < coin):
 continue
 for result in make_change(amount - coin, coins=coins,
 hand=hand + [coin]):
 yield result

【讨论】：

【解决方案23】：

这是子涵回答的改进。当面额只有 1 美分时，就会出现大量不必要的循环。

它直观且非递归。

    public static int Ways2PayNCents(int n)
    {
        int numberOfWays=0;
        int cent, nickel, dime, quarter;
        for (quarter = 0; quarter <= n/25; quarter++)
        {
            for (dime = 0; dime <= n/10; dime++)
            {
                for (nickel = 0; nickel <= n/5; nickel++)
                {
                    cent = n - (quarter * 25 + dime * 10 + nickel * 5);
                    if (cent >= 0)
                    {
                        numberOfWays += 1;
                        Console.WriteLine("{0},{1},{2},{3}", quarter, dime, nickel, cent);
                    }                   
                }
            }
        }
        return numberOfWays;            
    }

【讨论】：

你不能概括这个解决方案，所以例如一个新元素出现在这种情况下你必须添加另一个 for 循环

【解决方案24】：

简单的 java 解决方案：

public static void main(String[] args) 
{    
    int[] denoms = {4,2,3,1};
    int[] vals = new int[denoms.length];
    int target = 6;
    printCombinations(0, denoms, target, vals);
}


public static void printCombinations(int index, int[] denom,int target, int[] vals)
{
  if(target==0)
  {
    System.out.println(Arrays.toString(vals));
    return;
  }
  if(index == denom.length) return;   
  int currDenom = denom[index];
  for(int i = 0; i*currDenom <= target;i++)
  {
    vals[index] = i;
    printCombinations(index+1, denom, target - i*currDenom, vals);
    vals[index] = 0;
  }
}

【讨论】：

【解决方案25】：

/*
* make a list of all distinct sets of coins of from the set of coins to
* sum up to the given target amount.
* Here the input set of coins is assumed yo be {1, 2, 4}, this set MUST
* have the coins sorted in ascending order.
* Outline of the algorithm:
* 
* Keep track of what the current coin is, say ccn; current number of coins
* in the partial solution, say k; current sum, say sum, obtained by adding
* ccn; sum sofar, say accsum:
*  1) Use ccn as long as it can be added without exceeding the target
*     a) if current sum equals target, add cc to solution coin set, increase
*     coin coin in the solution by 1, and print it and return
*     b) if current sum exceeds target, ccn can't be in the solution, so
*        return
*     c) if neither of the above, add current coin to partial solution,
*        increase k by 1 (number of coins in partial solution), and recuse
*  2) When current denomination can no longer be used, start using the
*     next higher denomination coins, just like in (1)
*  3) When all denominations have been used, we are done
*/

#include <iostream>
#include <cstdlib>

using namespace std;

// int num_calls = 0;
// int num_ways = 0;

void print(const int coins[], int n);

void combine_coins(
                   const int denoms[], // coins sorted in ascending order
                   int n,              // number of denominations
                   int target,         // target sum
                   int accsum,         // accumulated sum
                   int coins[],        // solution set, MUST equal
                                       // target / lowest denom coin
                   int k               // number of coins in coins[]
                  )
{

    int  ccn;   // current coin
    int  sum;   // current sum

    // ++num_calls;

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        /*
         * skip coins of lesser denomination: This is to be efficient
         * and also avoid generating duplicate sequences. What we need
         * is combinations and without this check we will generate
         * permutations.
         */
        if (k > 0 && denoms[i] < coins[k - 1])
            continue;   // skip coins of lesser denomination

        ccn = denoms[i];

        if ((sum = accsum + ccn) > target)
            return;     // no point trying higher denominations now


        if (sum == target) {
            // found yet another solution
            coins[k] = ccn;
            print(coins, k + 1);
            // ++num_ways;
            return;
        }

        coins[k] = ccn;
        combine_coins(denoms, n, target, sum, coins, k + 1);
    }
}

void print(const int coins[], int n)
{
    int s = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cout << coins[i] << " ";
        s += coins[i];
    }
    cout << "\t = \t" << s << "\n";

}

int main(int argc, const char *argv[])
{

    int denoms[] = {1, 2, 4};
    int dsize = sizeof(denoms) / sizeof(denoms[0]);
    int target;

    if (argv[1])
        target = atoi(argv[1]);
    else
        target = 8;

    int *coins = new int[target];


    combine_coins(denoms, dsize, target, 0, coins, 0);

    // cout << "num calls = " << num_calls << ", num ways = " << num_ways << "\n";

    return 0;
}

【讨论】：

【解决方案26】：

这是一个 C# 函数：

    public static void change(int money, List<int> coins, List<int> combination)
    {
        if(money < 0 || coins.Count == 0) return;
        if (money == 0)
        {
            Console.WriteLine((String.Join("; ", combination)));
            return;
        }

        List<int> copy = new List<int>(coins);
        copy.RemoveAt(0);
        change(money, copy, combination);

        combination = new List<int>(combination) { coins[0] };
        change(money - coins[0], coins, new List<int>(combination));
    }

像这样使用它：

change(100, new List<int>() {5, 10, 25}, new List<int>());

打印出来：

25; 25; 25; 25
10; 10; 10; 10; 10; 25; 25
10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10
5; 10; 10; 25; 25; 25
5; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 25
5; 5; 10; 10; 10; 10; 25; 25
5; 5; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10
5; 5; 5; 10; 25; 25; 25
5; 5; 5; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 25
5; 5; 5; 5; 10; 10; 10; 25; 25
5; 5; 5; 5; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10
5; 5; 5; 5; 5; 25; 25; 25
5; 5; 5; 5; 5; 10; 10; 10; 10; 10; 25
5; 5; 5; 5; 5; 5; 10; 10; 25; 25
5; 5; 5; 5; 5; 5; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10
5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 10; 10; 10; 10; 25
5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 10; 25; 25
5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 10; 10; 10; 10; 10; 10
5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 10; 10; 10; 25
5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 25; 25
5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 10; 10; 10; 10; 10
5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 10; 10; 25
5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 10; 10; 10; 10
5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 10; 25
5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 10; 10; 10
5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 25
5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 10; 10
5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 10
5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5

【讨论】：

输出很漂亮

【解决方案27】：

下面是一个查找所有货币组合的python程序。这是一个具有 order(n) 时间的动态规划解决方案。钱是1,5,10,25

我们从第 1 行钱遍历到第 25 行钱（4 行）。如果我们只考虑货币 1，则货币 1 行包含计数计算组合的数量。行 money 5 通过计算行 money r 中的计数来生成每一列相同的最终钱加上前 5 个计数在它自己的行中（当前位置减 5）。行钱 10 使用行钱 5，其中包含 1,5 的计数并添加前 10 个计数（当前位置减 10）。行钱25用行 money 10，其中包含行 money 1、5、10 加上前 25 个计数的计数。

例如，numbers[1][12] = numbers[0][12] + numbers[1][7] (7 = 12-5)，结果为 3 = 1 + 2；数字[3][12] = numbers[2][12] + numbers[3][9] (-13 = 12-25) 结果为 4 = 0 + 4，因为 -13 小于 0。

def cntMoney(num):
    mSz = len(money)
    numbers = [[0]*(1+num) for _ in range(mSz)]
    for mI in range(mSz): numbers[mI][0] = 1
    for mI,m in enumerate(money):
        for i in range(1,num+1):
            numbers[mI][i] = numbers[mI][i-m] if i >= m else 0
            if mI != 0: numbers[mI][i] += numbers[mI-1][i]
        print('m,numbers',m,numbers[mI])
    return numbers[mSz-1][num]

money = [1,5,10,25]
    num = 12
    print('money,combinations',num,cntMoney(num))

output:    
('m,numbers', 1, [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1])
('m,numbers', 5, [1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3])
('m,numbers', 10, [1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4])
('m,numbers', 25, [1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4])
('money,combinations', 12, 4)

【讨论】：

【解决方案28】：

Java 解决方案

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;


public class nCents {



public static void main(String[] args) {

    Scanner input=new Scanner(System.in);
    int cents=input.nextInt();
    int num_ways [][] =new int [5][cents+1];

    //putting in zeroes to offset
    int getCents[]={0 , 0 , 5 , 10 , 25};
    Arrays.fill(num_ways[0], 0);
    Arrays.fill(num_ways[1], 1);

    int current_cent=0;
    for(int i=2;i<num_ways.length;i++){

        current_cent=getCents[i];

        for(int j=1;j<num_ways[0].length;j++){
            if(j-current_cent>=0){
                if(j-current_cent==0){
                    num_ways[i][j]=num_ways[i-1][j]+1;
                }else{
                    num_ways[i][j]=num_ways[i][j-current_cent]+num_ways[i-1][j];
                }
            }else{
                num_ways[i][j]=num_ways[i-1][j];
            }


        }


    }



    System.out.println(num_ways[num_ways.length-1][num_ways[0].length-1]);

}

}

【讨论】：

【解决方案29】：

下面的 java 解决方案也将打印不同的组合。容易明白。想法是

对于总和 5

解决办法是

    5 - 5(i) times 1 = 0
        if(sum = 0)
           print i times 1
    5 - 4(i) times 1 = 1
    5 - 3 times 1 = 2
        2 -  1(j) times 2 = 0
           if(sum = 0)
              print i times 1 and j times 2
    and so on......

如果每个循环中的剩余总和小于面额即如果剩余总和 1 小于 2，则直接中断循环

完整代码如下

如有错误请指正

public class CoinCombinbationSimple {
public static void main(String[] args) {
    int sum = 100000;
    printCombination(sum);
}

static void printCombination(int sum) {
    for (int i = sum; i >= 0; i--) {
        int sumCopy1 = sum - i * 1;
        if (sumCopy1 == 0) {
            System.out.println(i + " 1 coins");
        }
        for (int j = sumCopy1 / 2; j >= 0; j--) {
            int sumCopy2 = sumCopy1;
            if (sumCopy2 < 2) {
                break;
            }
            sumCopy2 = sumCopy1 - 2 * j;
            if (sumCopy2 == 0) {
                System.out.println(i + " 1 coins " + j + " 2 coins ");
            }
            for (int k = sumCopy2 / 5; k >= 0; k--) {
                int sumCopy3 = sumCopy2;
                if (sumCopy2 < 5) {
                    break;
                }
                sumCopy3 = sumCopy2 - 5 * k;
                if (sumCopy3 == 0) {
                    System.out.println(i + " 1 coins " + j + " 2 coins "
                            + k + " 5 coins");
                }
            }
        }
    }
}

}

【讨论】：

【解决方案30】：

这是一个基于 python 的解决方案，它使用递归和记忆，导致 O(mxn) 的复杂度

    def get_combinations_dynamic(self, amount, coins, memo):
    end_index = len(coins) - 1
    memo_key = str(amount)+'->'+str(coins)
    if memo_key in memo:
        return memo[memo_key]
    remaining_amount = amount
    if amount < 0:
        return []
    if amount == 0:
        return [[]]
    combinations = []
    if len(coins) <= 1:
        if amount % coins[0] == 0:
            combination = []
            for i in range(amount // coins[0]):
                combination.append(coins[0])
            list.sort(combination)
            if combination not in combinations:
                combinations.append(combination)
    else:
        k = 0
        while remaining_amount >= 0:
            sub_combinations = self.get_combinations_dynamic(remaining_amount, coins[:end_index], memo)
            for combination in sub_combinations:
                temp = combination[:]
                for i in range(k):
                    temp.append(coins[end_index])
                list.sort(temp)
                if temp not in combinations:
                    combinations.append(temp)
            k += 1
            remaining_amount -= coins[end_index]
    memo[memo_key] = combinations
    return combinations

【讨论】：

好吧，我怀疑上面有多项式运行时间。不确定我们是否可以有多项式运行时间。但我观察到的是，在许多情况下，上述运行速度比非记忆版本快。我会继续研究原因