可微函数的大证明答案

【问题标题】：Big-oh proof on differentiable functions可微函数的大证明
【发布时间】：2018-01-30 05:11:33
【问题描述】：

在下面的问题中，假设 f, g : R → R 是可微的并且严格增加（对于所有 x，f'(x) > 0 和 g'(x) > 0）。证明以下陈述或提供反例：当且仅当 f'(x) = O(g'(x)) 时 f(x) = O(g(x)) 吗？

我了解大哦极限的定义，鉴于我对微积分的基本知识，上述内容是有道理的，但我不确定如何在数学上写出合理的证明。

【问题讨论】：

我投票结束这个问题，因为它属于 math.stackexchange
"If an only if" 有两个方向。确实 f'(x) in O(g'(x)) => f(x) in O(g(x))，但不是真的 f(x)在 O(g(x)) => f'(x) 在 O(g'(x)).
@MattTimmermans 好吧，我认为您陈述的第一部分是错误的。请看我的回答。
@Yola 如果你愿意，但我认为允许 g(x) 为负数只是绕着限制 g'(x)>0

标签： algorithm big-o calculus

【解决方案1】：

反例是放置g(x) = 0 和f(x) = 1。两个导数都是零，所以f'(x) = O(g'(x)) 成立，但1 = O(0) 不成立。

编辑：好的，我错过了非零导数的条件，但仍然有一个反例。想法是一样的——让g(x)无限接近于零。

考虑error function。让我们输入g(x) = erf(x) - 1 和f(x) = erf(x)。 g(x) 将随着x 的变大而接近于零，因此不可能找到合适的常数来超过f(x)。所以，虽然f'(x) = O(g'(x))（实际上是f'(x) = g'(x)）这不是f(x) = O(g(x))。

【讨论】：

我很确定如果f'(x) = g'(x) 那么f'(x) = O(g'(x)) 是一个错误的陈述。 f = O(g) 意味着无论我们为f 使用什么常量，都有一个点x 开始于C*f(x) < g(x)。所以如果f'(x) = g'(x) 然后2f'(x) > g'(x) 代表每个 x，这实际上意味着f' 不是O(g')。
这不是假的，你可以在这里查看定义Big O notation。没有严格的不平等。