这种语言的表达

Question

一种语言，用于生成所有 a 多于 b 的字符串（不一定只多一个，如语言 EQUAL 的非终结符 A，但 a 多于 b 的任何数量）。

Answer 1

首先，让我们通过使用正则语言的泵引理来证明该语言不是正则的。假设这种语言是常规的。然后，通过抽引引理，我们知道长度至少为 p 的语言中的任何字符串都可以写成 uxv 使得 |ux| 0 并且对于所有非负整数 n，u(x^n)v 也在语言中。选择作为我们的代表字符串 b^p a^(p+1)。这个字符串显然是我们的语言，因为它的 a 比 b 多。用 |ux| 将其重写为 uxv 0，选择 n > 1 会导致我们单独增加 b 的数量，这意味着在结果字符串中 a 的数量不超过 b 的数量。这是一个矛盾，所以我们唯一的假设 - 该语言是常规语言 - 一定是错误的。

接下来，让我们看看该语言是否是上下文无关的。请注意，a 多于 b 的语言与 a 和 b 数量相同的语言相似，我们认为这是一种规范的上下文无关语言：

S -> SS | aSb | bSa | e

我们可以修改这个语法如下：

1. 只要我们允许一个 a，就允许任意数量的 a
2. 而不是允许空字符串，要求字符串中至少有一个a

这暗示了语法

S -> ST | TS | ASb | bSA | A
T -> TT | ATb | bTA | e
A -> aA | a

注意：我们引入了非终结符 A 来捕捉允许任意数量的 a 代替一个的想法，并且我们添加了非终结符 T 来辅助“至少一个”a 的概念。我们在这里需要一个新的非终结符，因为否则每次我们使用产生式 S -> SS 时，我们都需要语法中的额外 a，而语言中的字符串可能没有。

为了证明这个语法是正确的，我们可以证明：

1. 它只生成该语言的字符串，即它生成的所有字符串a多于b
2. 它生成该语言中的所有字符串，也就是说，对于任何 a 多于 b 的字符串，此语法都会派生该字符串

为了显示第一部分，只需注意任何添加 b 的产生式也至少添加一个 a，并且要消除 S 的所有实例需要使用产生式 S -> a 恰好一次，这确保至少多了一个 a在最后的字符串中比有 b 的。

为了展示第二部分，考虑这个过程来生成任何字符串：

1. 如果字符串的形式为 a*，则使用 S -> A -> a*。

2. 如果字符串以a开头并以b结尾，则使用S -> ASb -> aSb 将最外面的a和b剥离。然后，使用相同的过程解决大小 (N - 2) 的子问题。请注意，我们删除了相同数量的 a 和 b，因此如果原始字符串的 a 多于 b，那么子问题中的字符串也是如此。

3. 如果字符串以b开头并以a结尾，则使用S -> bSA -> bSa将最外面的a和b剥离。然后，使用相同的过程解决大小 (N - 2) 的子问题。请注意，我们删除了相同数量的 a 和 b，因此如果原始字符串的 a 多于 b，那么子问题中的字符串也是如此。

4. 如果字符串以相同的符号开头和结尾，则找到字符串的任何前缀，使其和互补后缀的 a 至少与 b 一样多。这必须是可能的，因为字符串的 a 比 b 多，并且由于单词以相同的符号开头和结尾，因此前缀和后缀都不需要为空。然后，使用 S -> TS 或 S -> ST，取决于前缀或后缀是否可能包含相同数量的 a 和 b，并解决子问题。

在此过程的步骤 3 中严格证明声明作为练习：

如果一个由 a 和 b 组成的字符串以相同的符号开始和结束，并且包含的​​ a 多于 b，则该字符串可以拆分为前缀和后缀，每个前缀和后缀中的 a 至少与 b 一样多。