如何理解 Modelica 模型中的病态雅可比问题？

Question

我更改了模型中的参数，但有时会因为病态雅可比行列导致模拟停止，我不确定这个错误意味着什么。

我的问题是：

1. 有没有关于如何在 Modelica 模型中求解 DAE 方程的解释，以便我理解雅可比矩阵的使用？
2. 我如何知道在 Dymola 中是哪个方程或参数导致了此问题？

Answer 1

Modelica 模型或多或少映射到混合 ODE 系统（或索引为 1 的混合 DAE 系统）。为简单起见，假设它映射到显式连续时间 ODE 系统

xdot = f(x,p,t) , x(0) = x0

请注意，混合 ODE 系统由多个连续时间 ODE 系统组成。 Jacobian 是 f w.r.t 的偏导数。 x 是

df / dx (p,x0,t)

该矩阵被常见的现代数值求解器用于自适应步长数值积分，即在每个时间步选择一个新的步长。对于慢速动态，选择大步长，反之亦然。在每个时间步，可能使用高斯-牛顿迭代方案求解非线性方程组，该方案需要雅可比矩阵的倒数（或它的近似值）。如果雅可比行列在特定时间步长是病态或半奇异的，则会导致数值不稳定，从而阻碍数值解的评估。

1. 我更喜欢的一个很好的文献是 Sundials 套件的文档/用户指南，例如CVODE guide 的第 2 章。除了知名书籍外，更高级的文献还包括与现代数值求解器（如日晷、DASSL 等）有关的期刊论文。

2. 可能是的，例如通过计算雅可比行列式的秩和核，并找出导致雅可比行列式奇异的方程组。