如何检查 SymPy 表达式是否具有解析积分

Question

我想解决我的另一个问题here，所以每当没有积分的分析/符号解决方案时，我需要 sympy 来返回错误。

例如，如果我尝试：

from sympy import *
init_printing(use_unicode=False, wrap_line=False, no_global=True)
x = Symbol('x')
integrate(1/cos(x**2), x)

它只是 [漂亮] 打印积分本身

没有解决和/或给出无法解决的错误！

附：我也问过这个问题here on Reddit。

Answer 1

“符号”解决方案始终存在：我刚刚发明了一个新函数intcos(x)，根据定义，它是1/cos(x**2) 的反导数。现在这个积分有了一个符号解！

要使问题得到严格回答，必须限制答案中允许的函数类别。通常会考虑elementary functions。正如SymPy integral reference 解释的那样，它采用的 Risch 算法可以证明某些函数没有基本的反导数。使用选项risch=True，检查返回值是否为sympy.integrals.risch.NonElementaryIntegral的实例

from sympy.integrals.risch import NonElementaryIntegral
isinstance(integrate(1/exp(x**2), x, risch=True), NonElementaryIntegral)  # True

但是，由于 Risch 算法实现不完整，在许多情况下，例如 1/cos(x**2)，它返回一个普通的 Integral 对象。这意味着它既不能找到一种基本的反导数，也不能证明它不存在。

对于这个例子，它有助于用指数重写三角函数，rewrite(cos, exp)：

isinstance(integrate((1/cos(x**2)).rewrite(cos, exp), x, risch=True), NonElementaryIntegral)  

返回 True，所以我们知道积分是非初等的。

非元素抗衍生物

但通常我们并不真正需要初等函数；诸如 Gamma 或 erf 或 Bessel 函数之类的东西可能没问题；只要它是一些“已知”的功能（这当然是一个模糊的术语）。问题变成了：如何判断 SymPy 是否能够集成特定的表达式？使用.has(Integral) 检查：

integrate(2/cos(x**2), x).has(Integral)   # True

（不是isinstance(Integral)，因为返回值可以像这里一样，2*Integral(1/cos(x**2), x)。）除了 SymPy 未能找到反导数之外，这并不能证明任何事情。反导数很可能是已知函数，甚至是基本函数。