Python 中的 Parseval 定理

Question

我正在尝试掌握 Python 的 fft 功能，而我偶然发现的一件奇怪的事情是 Parseval's theorem 似乎并不适用，因为它现在给出了大约 50 的差异，而它应该是 0。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.fftpack as fftpack

pi = np.pi

tdata = np.arange(5999.)/300
dt = tdata[1]-tdata[0]

datay = np.sin(pi*tdata)+2*np.sin(pi*2*tdata)
N = len(datay)

fouriery = abs(fftpack.rfft(datay))/N

freqs = fftpack.rfftfreq(len(datay), d=(tdata[1]-tdata[0]))

df = freqs[1] - freqs[0]

parceval = sum(datay**2)*dt - sum(fouriery**2)*df
print parceval

plt.plot(freqs, fouriery, 'b-')
plt.xlim(0,3)
plt.show()

我很确定这是一个标准化因子，但我似乎无法找到它，因为我能找到的关于此函数的所有信息都是 scipy.fftpack.rfft documentation。

Answer 1

您的归一化因子来自尝试将 Parseval 定理应用于将连续信号傅里叶变换到离散序列的过程。在the wikipedia article on the Discrete Fourier transform的侧板上，与Dirac combs讨论了傅里叶变换、傅里叶级数、离散傅里叶变换和采样的关系。

长话短说，Parseval's theorem, when applied to DFTs 不需要积分，而是求和：2*pi 是通过将 dt 和 df 相乘得出的。

还要注意，因为您使用的是scipy.fftpack.rfft，所以您得到的不是数据的正确 DFT，而只是它的正半部分，因为负部分与它对称。因此，由于您只添加了一半的数据，加上 DC 术语中的 0，因此缺少 2 以获取 @unutbu 找到的 4*pi。

无论如何，如果datay 持有你的序列，你可以验证 Parseval 定理如下：

fouriery = fftpack.rfft(datay)
N = len(datay)
parseval_1 = np.sum(datay**2)
parseval_2 = (fouriery[0]**2 + 2 * np.sum(fouriery[1:]**2)) / N
print parseval_1 - parseval_2

使用scipy.fftpack.fft 或numpy.fft.fft 的第二个求和不需要采取这种奇怪的形式：

fouriery_1 = fftpack.fft(datay)
fouriery_2 = np.fft.fft(datay)
N = len(datay)
parseval_1 = np.sum(datay**2)
parseval_2_1 = np.sum(np.abs(fouriery_1)**2) / N
parseval_2_2 = np.sum(np.abs(fouriery_2)**2) / N
print parseval_1 - parseval_2_1
print parseval_1 - parseval_2_2