不满足 Numpy FFT 的 Parseval 定理

Question

我试图通过它的光谱来确定探测器在时域中记录的总能量。 使用 Numpy 的 FFT 库执行快速傅里叶变换后的第一步是确认 Parseval's theorem。

根据定理，时域和频域的总能量必须相同。我有两个问题无法解决。

• 当我在 np.trapz() 集成期间没有为 x 轴使用正确的单位时，我可以确认该定理。一旦我使用我的实际采样点/频率，结果就会关闭。我不明白为什么会这样，我想知道是否可以应用规范化来解决此错误。
• 当我对信号应用直流偏移时，我无法确认定理（取消注释 f = np.sin(np.pi**t)* 行）。

下面是我的带有示例正弦函数的代码。

# Python code

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Create a Sine function
dt = 0.001 # Time steps
t = np.arange(0,10,dt) # Time array
f = np.sin(np.pi*t) # Sine function
# f = np.sin(np.pi*t)+1 # Sine function with DC offset
N = len(t) # Number of samples

# Energy of function in time domain
energy_t = np.trapz(abs(f)**2)

# Energy of function in frequency domain
FFT = np.sqrt(2) * np.fft.rfft(f) # only positive frequencies; correct magnitude due to discarding of negative frequencies
FFT[0] /= np.sqrt(2) # DC magnitude does not have to be corrected
FFT[-1] /= np.sqrt(2) # Nyquist frequency does not have to be corrected
frq = np.fft.rfftfreq(N,d=dt) # FFT frequenices

# Energy of function in frequency domain
energy_f = np.trapz(abs(FFT)**2) / N

print('Parsevals theorem fulfilled: ' + str(energy_t - energy_f))

# Parsevals theorem with proper sample points

energy_t = np.trapz(abs(f)**2, x=t)
energy_f = np.trapz(abs(FFT)**2, x=frq) / N

print('Parsevals theorem NOT fulfilled: ' + str(energy_t - energy_f))

Answer 1

FFT 计算离散傅里叶变换 (DFT)，它与（连续域）傅里叶变换不同。

对于 DFT，Parseval’s theorem 声明离散信号的平方幅度之和等于信号的 DFT 幅度平方之和。不涉及集成，因此您不应使用trapz。只需使用sum。

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请注意，离散信号是一组样本x[n]，n=0..N em>-1。离散域中的傅立叶分析，以及所有相关操作，只考虑n，不考虑t。在这些分析中，采样频率和记录这些样本的实际时间是无关紧要的。同样，DFT 在 k=0..N-1 处产生一组样本 X[k] ，与任何采样频率无关。

现在可以将 n 关联到 t 因为我们知道采样频率，并且可以将 k 关联到 f 因为我们知道采样频率。但是这些转换不应该让我们认为 X[k] 是原始连续域信号的连续域傅里叶变换的采样。它们尤其不应该让我们认为我们可以插值 X[k]。

重建样本 x[n] 是通过添加 N 个具有 X 给定参数的正弦波来完成的[ k]。 “介于两者之间”的那些 DFT 组件不应该是任何东西。对它们进行插值意味着我们添加了样本中不存在的正弦曲线 x[n]。

trapz 使用线性插值来获得积分的估计值，因此不适合用于离散傅里叶分析。