找到最大 n 的最快算法，使得 x^n<=y答案

【问题标题】：Fastest algorithm to find the largest n such that x^n<=y找到最大 n 的最快算法，使得 x^n<=y
【发布时间】：2017-07-24 13:26:54
【问题描述】：

我正在做一个项目，该项目需要我找到最大的 n，使得 x^n

约束：

x>=1 & y>=1

使用我想到的第一种方法，当 x=12 和 y = 411^20000 时，我花了大约 5 秒找到 n，即，

int n=0;
int x=12;
int y=100;
int temp;
int answer;
while(1)
{
    temp = pow(x,n);
    if(temp>y)
        {
            answer = n-1;
            return(0);
        }
   n++;
}

注意：不是实际代码。不想让 gmp 语法复杂化

有更快的算法吗？完整代码： https://pastebin.com/J1vbmEbK

【问题讨论】：

好吧，即使你不想发布完整的代码，我们仍然需要算法。
一点改进是迭代乘法而不是计算每个幂
即使你发布伪代码，也请尽量使用像exp这样的真实函数，而不是按位异或运算符。
我可能不明白你的问题的限制，但为什么不直接计算答案，floor( log(y)/log(x) )？ log(y)/log(x) 是计算 log-base-x(y) 的方式，其中 log 只是自然对数（或任何方便的对数）。
顺便说一句，在您的伪代码中，n 是不变的。

标签： c algorithm math gmp

【解决方案1】：

如果gmp library包含对数函数，使用它

result = Floor(log(y)/log(x))

否则你可以尽可能地利用binary search - square x (x, x^2, x^4, x^8)，然后减少功率步骤

用普通数字检查的快速而肮脏的实现

returns 24 for x = 2; y = 31415926.0;
(same as Floor(ln(y)/ln(x))

int FindXPower(double x, double y) 
{
  int Powers[64];
  double t, s, next;
  int ix;

  //exponential search phase
  ix = 0;
  t = x;
  while (t <= y)
  {
    Powers[ix++] = t;  //remember them to use later
    t = t * t;
  };
  //now powers contain [x,x^2,x^4,x^8,x^16...]

  ix--;
  int Result = 1 << ix;  // 2^lastindex: 1,2,4,8,16,32...

  //binary search phase
  s = Powers[ix--];     //max value after squaring
  while ((s < y) && (ix >= 0))
  {
     t = Powers[ix];
     next = s * t;
     while (next < y)
     {
      s = next;
      next = next * t;
      Result = Result + (1<<ix);
     }
     ix--;
  };
  return Result;
}

【讨论】：

gmp 中没有对数函数。该死，我想哭。
这个 repo 应该包含一个允许你计算日志的 GMP 扩展。 github.com/linas/anant 。不过，我仍然会选择二进制搜索方法。
@DavideSpataro 为什么你更喜欢二进制搜索而不是日志方法？
除以y._mp_size / x._mp_size，大致相当于log256。
@AkiSuihkonen：非常粗略。更准确的估计是(mpz_sizeinbase(y, 2)-1)/mpz_sizeinbase(x,2)。

【解决方案2】：

您可以通过二分法搜索正确的值，而不是线性递减n。

定义两个变量：n_low 和 n_high，不变量在任何时刻x^n_high 严格大于y 和x^n_low 小于或等于y。

在每次迭代中，计算m 的值，它将n_high 和n_low 之间的距离减半。

然后将x^m 与y 进行比较。如果严格大于，则分配：n_high = m 否则分配n_low = m。当n_low+1==n_high n_low 的值是您要查找的值时。

【讨论】：

n 是线性递增的，如果你将二分法的最大间隔的值设置为 y，我不确定你会不会那么快。
我想我会坚持使用 MBo 答案中的二进制搜索方法。
@rjpj1998 是一样的 ;)
伙计，对不起。我应该意识到的。这样的算法对我来说是新的，它看起来非常令人生畏哈哈。
@rjpj1998 没问题，MBo方案更好解释

【解决方案3】：

我假设您正在使用任意精度的整数（GMP 还支持任意精度的浮点数）。

将 bigint 转换为浮点数。这会导致舍入错误。
估计计算n_est = floor(log(y_float) / log(x_float))的结果。
实际的n 是n_est - 1、n_est 或n_est + 1，可以轻松检查。

【讨论】：