从 (n^j) 计算 (n + 1)^j 的最快方法

Question

我需要为一些非常大的 k 和 j 计算 0^j, 1^j, ..., k^j (两者都在几百万的数量级)。我正在使用 GMP 来处理大整数（是的，我需要整数，因为我需要全精度）。现在，我想知道，一旦我完成了计算 n^j 的努力，是否有办法加快 (n + 1)^j 的计算，而不是从头开始？

这是我目前用来计算功率的算法：

mpz_class pow(unsigned long int b, unsigned long int e)
{
    mpz_class res = 1;
    mpz_class m = b;

    while(e)
    {
        if(e & 1)
        {
            res *= m;   
        }

        e >>= 1;
        m *= m;
    }

    return res;
}

如你所见，每次我从头开始，都需要很多时间。

Answer 1

要计算n^j，为什么不找到n 的至少一个因子，比如k 执行n^j = k^j * (n/k)^j？在计算 n^j 时，k^j 和 (n/k)^j 都应该是已知的。

但是，上述内容可能需要 O(sqrt(n)) 时间为 n。正如您在上面的代码中提到的那样，我们在O(log(j)) 时间由Exponentiation by Squaring 独立计算n^j。

因此，您可以混合使用以上内容，具体取决于哪个更大：

1. 如果n 远小于log(j)，则通过因式分解计算n^j。

2. 只要知道n^j，就计算{(2*n)^j, (3*n)^j, ..., ((n-1)*n)^j, n * n^j}，并将其保存在查找表中。

3. 如果n 大于log(j) 且无法进行上述准备好的计算，请使用对数方法，然后计算上述其他相关幂。

4. 如果n 是2 的纯幂（可能是const time computation），则通过移位计算j 的幂并计算相关和。

5. 如果n 是偶数（再次计算const 时间），则使用分解方法并计算相关乘积。

上面的内容应该会很快。例如，偶数本身的识别应该将一半的幂计算转换为乘法。可以找到更多关于因式分解的经验法则，可以进一步减少计算（特别是对于可被 3、7 等整除）

Answer 2

您可能希望使用 (n+1)^j 的二项式展开为 n^j + jn^(j-1)+j(j-1)/2 * n ^(j-2) +... + 1 并记住已经计算的较低幂，并通过加法重用它们以在 O(n) 时间内计算 (n+1)^j。如果在添加每个项的同时递增地计算系数 j, j*(j-1)/2,...，这也可以在 O(n) 中完成。