n 的四次根的复杂度函数的大 O 表示法

Question

我希望找到以下复杂度函数的大 O 表示法：f(n) = n^(1/4)。

我想出了几个可能的答案。

1. 更准确的答案似乎是O(n^1/4)。但是，由于它包含一个根，它不是一个多项式，而且我从未在任何教科书或在线资源中看到这个 n'th 根 n。
2. 使用数学定义，我可以尝试定义具有指定n 限制的上限函数。我尝试用log2 n 蓝色和n 绿色绘制n^(1/4) 红色。

log2 n 曲线与n^(1/4) 相交于n=2.361，而n 与n^(1/4) 相交于n=1。

鉴于正式的数学定义，我们可以提出两个具有不同限制的附加大 O 符号。

以下显示O(n) 适用于n > 1。

f(n) is O(g(n))
Find c and n0 so that
n^(1/4) ≤ cn 
where c > 0 and n ≥ n0
C = 1 and n0 = 1
f(n) is O(n) for n > 1

这表明O(log2 n) 适用于n > 3。

f(n) is O(g(n))
Find c and n0 so that
n^(1/4) ≤ clog2 n 
where c > 0 and n ≥ n0
C = 1 and n0 = 3
f(n) is O(log2 n) for n > 3

通常会使用哪个大 O 描述复杂性函数？ 3个都是“正确的”吗？这取决于解释吗？

Answer 1

• 使用O(n^1/4) 非常适合大O 表示法。 Here are some examples of fractures in exponents from real life examples
• O(n) 也是正确的（因为大 O 只给出了上限），但它并不紧，所以n^1/4 在O(n) 中，但不在Theta(n) 中
• n^1/4 不在 O(log(n)) 中（以下是证明指南）。

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对于任何值r>0，对于足够大的值n，log(n) < n^r。

证明：

看看log(log(n)) 和r*log(n)。对于足够大的值，第一个明显小于第二个。在大 O 符号术语中，我们可以明确地说r*log(n)) 不在O(log(log(n)) 中，而log(log(n)) 是⁽¹⁾，所以我们可以这样说：

log(log(n)) < r*log(n) = log(n^r)     for large enough values of n

现在，以e 为底对每一边进行指数运算。请注意，对于足够大的n，左手和右手的值都是正数：

e^log(log(n)) < e^log(n^r)
log(n) < n^r

此外，通过类似的方式，我们可以证明对于任何常量c，并且对于足够大的n 值：

c*log(n) < n^r

因此，根据定义，这意味着n^r 不在O(log(n)) 中，而您的具体情况：n^0.25 不在O(log(n)) 中。

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脚注：

(1)如果还是不确定，新建一个变量m=log(n)，是不是比r*m不在O(log(m))里清楚？如果您想进行练习，证明它很容易。