这个双循环的复杂度是多少答案

【问题标题】：What is the complexity of this double loop这个双循环的复杂度是多少
【发布时间】：2014-02-01 16:34:03
【问题描述】：

#include <stdio.h>

int main() {
    int N = 32; /* for example */

    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= N*N; i = i*3)
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            sum++;

    printf("Sum = %d\n", sum);
    return 0;
}

外循环很奇怪。

如果只检查 N（不是 N*N），那么 i 每次乘以 3 就意味着外部循环需要 n/3 次迭代？

但检查是 N* N 或 N^2 ，因此意味着将增长

N^2  / 3 ??? (n squared divided by 3) Is that correct?

如果我使用不同的 N 值，比如每次翻倍，i 循环（单独）不会增长太多。像对数增长）。我将如何用数学方式表达这一点？

那么你如何看待内循环？如果它每次都增加到 i ，我该如何用数学方式表达呢？如何将内部循环与 N 联系起来？

我希望 a) 能够用 N 在数学上表达“复杂性”。然后下一步，b) 是使用大 O 表示法。

对此感到困惑。任何帮助将不胜感激。

【问题讨论】：

标签： c algorithm time-complexity

【解决方案1】：

我认为外部循环会执行log3(N*N) 次，因为每次乘以 3，所以您有 1、3、9... 并且需要以 N*N 执行次数的 3 为底的对数才能达到 N*N。

内部循环最多执行N*N次，所以一切都变成log3(N*N)*N*N。

【讨论】：

您不能总是通过假设每次运行时最坏的情况（此处为 N*N）来估算内部循环的总成本。通常这样做在逻辑上是不正确的，但会产生正确的复杂性，但在这里它给出了高估。

【解决方案2】：

递增指令（大约）执行 N*N + N*N/3 + N*N/9 + ... = N*N(1 + 1/3 + 1/9 + ...) = N*N*3/2 次（使用几何级数的公式）。所以总体而言，代码的运行时间是 O(N*N)（假设所有算术都是 O(1) 并且 C 整数可以表示任意大的数字）。

【讨论】：

【解决方案3】：

fede1024 是正确的，外循环是 log3(n^2)。

内部循环稍微复杂一点，但解决 1 + 8 + 27.. (sum x^3) 的总和会给您解决方案。您可以使用一组线性方程计算立方体的总和，假设总和等于 3 次多项式并表示为 ay^3 + by^2 + cy。或者谷歌它，发现立方体的总和等于 (n(n+1)/2)^2 （如果你愿意，可以包括一个完整的解决方案）。

那么整个复杂度将是 log3(n^2)*(n(n+1)/2)^2。大 O 表示法，log3(n^2)*n^3。可能是错的。

【讨论】：