计算图中的三角形（长度为 3 的循环）答案

【问题标题】：Count triangles (cycles of length 3) in a graph计算图中的三角形（长度为 3 的循环）
【发布时间】：2016-08-26 08:04:39
【问题描述】：

在一个有 V 个顶点和 E 个边的无向图中，你将如何计算 O(|V||E|) 中的三角形数量？我看到了算法here，但我不确定如何实现该算法以实现这种复杂性。这是该帖子中提供的代码：

for each edge (u, v):
  for each vertex w:
     if (v, w) is an edge and (w, u) is an edge:
          return true
return false

您会使用图的邻接表表示来遍历外循环中的所有边，然后使用邻接矩阵来检查内循环中是否存在 2 条边？

另外，我看到了另一种解决方案，表示为 O(|V||E|)，它涉及在图上执行深度优先搜索，当你遇到来自顶点 u 的后边 (u,v) 时，你就是访问检查顶点 u 的祖父母是否是顶点 v。如果是，那么您找到了一个三角形。这个算法正确吗？如果是这样，这不是 O(|V|+|E|) 吗？在我链接到的帖子中，有一个针对所提供的广度优先搜索解决方案的反例，但根据我提出的示例，我上面概述的深度优先搜索方法似乎有效。

【问题讨论】：

如果你有图的邻接表实现，迭代所有边是for (Vertex v : graph) { for (Edge e : v.Edges()) { /* do something with e */ } }。像这样的迭代是O(V+E)，这将使算法在O(|V|^2 + |V||E|) 中运行。或者，您可以预处理图形并生成包含所有边的集合。
您指的是我在上面发布的代码吗？如果是这样，您是否从构造邻接矩阵中得到 O(|V|^2)，而从访问每个边和顶点组合中得到 O(|V||E|)？

标签： algorithm data-structures graph

【解决方案1】：

首先，请注意，该算法并没有计算三角形的数量，而是返回一个是否存在。

对于第一个算法，如果我们假设我们可以在恒定时间内查找 (a, b) 是一条边，那么分析就变得简单了。（因为我们遍历所有边的所有顶点，并且只在恒定时间内做某事，我们得到 O(|V||E|*1)。）可以使用 for例如hashtable/set。正如你所说，我们也可以通过使用邻接矩阵来做到这一点，我们可以通过循环所有边预先创建它，而不改变我们的总复杂性。

也许可以使用邻接表表示在边缘上循环，但遍历它可能是 O(|V|+|E|)，总复杂度为 O(|V||V| + |V| |E|) 这可能比我们想要的要多。如果是这种情况，我们应该先循环，然后将所有边添加到普通集合（如列表）中。

对于您提出的 DFS 算法，问题是我们不能确定在正确的时刻遇到某个边作为后边，如下面的反例所示：

A -- B --- C -- D
      \   /     |
        E ----- F

这里如果我们从 A-B-C-E 看，然后找到后边 E-B，我们正确地找到了三角形；但是如果我们改为 A-B-C-D-F-E，则后边 E-B 和 E-C 不再满足我们的条件。

【讨论】：

对，我已经修改了代码以返回三角形的数量。我怀疑您提到的有关 DFS 算法的内容，但无法拿出像您这样的图表来掌握问题。这清楚地表明这是行不通的。
请注意，创建邻接矩阵可能实际上应该花费 O(|V||V|+|E|)，其中 V*V 时间用于分配内存（或者我们假设这需要常数时间）。如果我们想避免这种情况，我们将边添加到哈希集中，我们可以在恒定时间内检查其成员资格。

【解决方案2】：

这是一种计算周期数的幼稚方法。我们需要邻接矩阵形式的输入。

public int countTricycles(int [][] adj){
        int n = adj.length;
        int count = 0; 
        for(int i = 0; i < n ;i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                if(adj[i][j] != 0){
                    for(int k = 0; k < n; k++){
                        if(k!=i && adj[j][k] != 0 && adj[i][k] != 0 ){
                             count++;    
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return count/6;
    }

复杂度为 O(n^3)。

【讨论】：