C++：如何计算一个大幂数的模？

Question

我正在解决一个编程问题，我必须以 answer mod 10 ^ 9 + 7 格式打印答案，其中“答案”是问题的实际答案。

我已经找到了解决问题的算法，但需要注意的是，问题的答案始终采用 m * 10 ^ n 格式，其中

1

接下来我该怎么做？

Answer 1

评估10^n mod M：

您需要的是Modular Exponentiation。它可以计算(a^b)%m in log_2(b)(log base 2)。

示例

假设您需要计算10^9。

1. 一种方法是按顺序多次10、9。

2. 或者，使用分而治之的方法。

   10^9 = (10^8)*(10^1)

   10^8 = (10^4)*(10^4) : 你需要计算10^4 两次吗？

   10^4 = (10^2)*(10^2) : 你需要计算10^2 两次吗？

   10^2 = (10^1)*(10^1)

   10^1 = (10^1)*(10^0)

   10^0 是基本情况。

   所以，我们基本上做的是：

   1. 如果power 是奇数，那么我们计算base^(power-1) 并将其与base 相乘得到base^power。 [base^power = (base^(power-1)) * base)]
   2. 如果power 是偶数，那么我们计算base^(power/2) 并将其与自身相乘得到base^power。 [base^power = (base^(power/2)) * (base^(power/2))]。但是我们只计算一次base^(power/2)。

计算复杂度：

如here所述：

简要分析表明，这样的算法使用floor(log_2(n))平方和 最多floor(log_2(n)) 乘法。更准确地说， 乘法的数量比存在的数量少一 在 n 的二元展开中。

所以，我们可以说运行时的顺序是log_2(n)。 (O(log_2(power)))

求模部分：

很容易注意到，在计算像 10^(10^18) 这样大的值时，我们势必会溢出最大的原始类型 (long long int)。而这里输入Modular Multiplication，据此(a * b) % c = ((a % c) * (b % c)) % c。附带说明一下，当您直接查看代码时，您可能看不到此规则正在使用中，但如果您评估递归调用，则会使用它。

问题解决了吗？

我们通过在运行时计算模数来防止溢出。比如说，如果我们得到一些值作为10^9，我们需要将它与自身相乘。溢出？不，这次不是。

ans = ((10^9 % 1000000007) * (10^9 % 1000000007)) % 1000000007
ans = 10^18 % 1000000007
ans = 49

代码：

虽然有多种实现，这里有一个简单的：

const int M = 1e9 + 7;
long long int powxy(long long int x, long long int y) {
    if (y == 0) return 1;
    if (y%2 == 1) return (x*powxy(x, y-1))%M;
    long long int t = powxy(x, y/2);
    return (t*t)%M;
}

测试here。