使用 Maclaurin 级数近似计算 cos(x)答案

【问题标题】：Calculation of cos(x) using a Maclaurin series approximation使用 Maclaurin 级数近似计算 cos(x)
【发布时间】：2013-02-21 06:41:50
【问题描述】：

所以，我正在尝试创建一个使用泰勒近似计算 cos(x) 的程序。

程序很简单：用户输入一个参数x（x是弧度的角度）和一个浮点数ε，即cos(x)值的精度。

基本上，程序唯一要做的就是计算这个总和： x^0/0！ - x^2/2！ + x^4/4！ - x^6！ + x^8/8！ - ...，直到各项小于 ε，即 cos(x) 的值都在我们的精度范围内。

所以，这里是代码：

#include <stdio.h>

/* Calculates cos(x) by using a Taylor approximation:
   cos(x) = x^0/(0!) - x^2/(2!) + x^4/(4!) - x^6/(6!) + x^8/(8!) - ... */

int main(void)
{    
    int   k;         // dummy variable k

    float x,         // parameter of cos(x), in radians
          epsilon;   // precision of cos(x) (cos = sum ± epsilon)
          sum,       // sum of the terms of the polynomial series
          term;      // variable that stores each term of the summation

    scanf("%f %f", &x, &epsilon);

    sum = term = 1, k = 0;

    while (term >= epsilon && -term <= epsilon) 
    // while abs(term) is smaller than epsilon
    {
        k += 2;
        term *= -(x*x)/(k*(k-1));
        sum += term;
    }

    printf("cos(%f) = %f\n", x, sum);

    return 0;
}

起初，我尝试通过计算单独变量“fact”的阶乘来解决它，尽管即使 ε 具有合理的大值也会导致溢出。

为了解决这个问题，我注意到我可以将前一项乘以 -x² / (k(k-1))，在每次迭代中将 k 增加 2，以获得下一项。我认为这会解决我的问题，但话又说回来，它不起作用。

程序编译得很好，但是例如，如果我输入：

3.141593 0.001

输出是：

cos(3.141593) = -3.934803

...这显然是错误的。有人可以帮我吗？

【问题讨论】：

标签： c

【解决方案1】：

错误在于您的 while 循环：

while (term >= epsilon && -term <= epsilon)

这不是正确的条件。虽然可以通过修复逻辑来修复它：

while (term >= epsilon || -term >= epsilon)

您应该只使用标准的浮点 abs 函数 fabs，因为它使您的代码的功能更加明显：

while (fabs(term) >= epsilon)

应用该更改并编译您的程序后，我用它来计算cos(3.141593) = -1.000004，这是正确的。

【讨论】：

并与数学库链接。
@ring0 - 可悲的是，近似算法有时会给出略显愚蠢的结果。如果无法容忍超出 -1..+1 范围的估计值，您可以随时添加检查以强制执行这些限制。
谢谢，这很有帮助！ =D 使用“&&”而不是“||”对我来说真的很愚蠢，是的，我本可以使用数学库中的 fab，但我认为这有点奇怪（我的意思是，cos(x ) 函数也在数学库中！）。无论如何，再次感谢您的帮助！

【解决方案2】：

只是添加到 Charliehorse55 的答案。

通常使用简单的三角函数来简化参数

cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
sin(x + y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)

将参数减少到 [0..SmallAngle] 范围，然后才计算泰勒展开式。

【讨论】：