使用泰勒级数逼近 cos

Question

我使用Taylors series 来计算一个数字的余弦值，对于小数字，该函数会返回准确的结果，例如cos(5) 给出0.28366218546322663。但是对于较大的数字，它会返回不准确的结果，例如 cos(1000) 给出 1.2194074101485173e+225

def factorial(n):
    c = n
    for i in range(n-1, 0, -1):
        c *= i
    return c

def cos(x, i=100):
    c = 2
    n = 0
    for i in range(i):
        if i % 2 == 0:
            n += ((x**c) / factorial(c))
        else:
            n -= ((x**c) / factorial(c))
        c += 2
    return 1 - n

我尝试使用round(cos(1000), 8) put 它仍然返回一个用科学计数法写的数字1.2194074101485173e+225 和e+ 部分。 math.cos(1000) 给出 0.5623790762907029，我怎样才能将我的数字四舍五入，使其与 math.cos 方法相同？

Answer 1

返回的数字只是一个数字；在您打印之前，它没有符号意义。如果您希望控制值的打印方式，假设您是这样打印的

print(cos(1000))

那么我们可以使用format strings来控制输出

print("{:f}".format(cos(1000)))

如果您使用的是 Python 3.6 或更高版本，我们甚至可以将 interpolate 直接添加到字符串文字中。

print(f"{cos(1000):f}")

您可以阅读上述链接以查看有关格式迷你语言的更多详细信息（两种功能之间的语言相同）。例如，如果您想打印特定的小数位数，您也可以提出请求。我们可以精确打印三个小数位，如下所示

print("{:.3f}".format(cos(1000)))
print(f"{cos(1000):.3f}")

但是，正如 Mad Physicist 指出的那样，您的代码还存在一些数学问题，因此我强烈建议您也阅读他的答案。

Answer 2

McLaurin 级数使用 Euler 的思想，使用适当的多项式来近似函数的值。多项式显然与cos(x) 之类的函数不同，因为它们都在某个点趋于无穷大，而cos 则不然。一个 100 阶多项式在零的每一侧最多可以近似函数的 50 个周期。由于 50 * 2pi 不能近似于 cos(1000)。

为了更接近合理的解决方案，多项式的阶必须至少为 x / pi。您可以尝试计算 300+ 阶的多项式，但由于浮点数的有限精度和阶乘的庞大，您很可能会遇到一些主要的数值问题。

改为使用cos(x) 的周期性并将以下内容添加为函数的第一行：

x %= 2.0 * math.pi

您还需要限制多项式的阶数，以避免因因子太大而无法放入浮点数的问题。此外，您可以并且应该通过增加先前结果而不是在每次迭代时从头开始来计算您的阶乘。这是一个具体的例子：

import math

def cos(x, i=30):
    x %= 2 * math.pi
    c = 2
    n = 0
    f = 2
    for i in range(i):
        if i % 2 == 0:
            n += x**c / f
        else:
            n -= x**c / f
        c += 2
        f *= c * (c - 1)
    return 1 - n

>>> print(cos(5), math.cos(5))
0.28366218546322663 0.28366218546322625

>>> print(cos(1000), math.cos(1000))
0.5623790762906707 0.5623790762907029

>>> print(cos(1000, i=86))
...
OverflowError: int too large to convert to float

您可以通过注意到增量乘积是x**2 / (c * (c - 1)) 来进一步摆脱数字瓶颈。对于比直接阶乘所能支持的更大的i，这将保持良好的界限：

import math

def cos(x, i=30):
    x %= 2 * math.pi
    n = 0
    dn = x**2 / 2
    for c in range(2, 2 * i + 2, 2):
        n += dn
        dn *= -x**2 / ((c + 1) * (c + 2))
    return 1 - n

>>> print(cos(5), math.cos(5))
0.28366218546322675 0.28366218546322625
>>> print(cos(1000), math.cos(1000))
0.5623790762906709 0.5623790762907029
>>> print(cos(1000, i=86), math.cos(1000))
0.5623790762906709 0.5623790762907029
>>> print(cos(1000, i=1000), math.cos(1000))
0.5623790762906709 0.5623790762907029

请注意，经过某个点后，无论您执行多少次循环，结果都不会改变。这是因为现在dn 收敛到零，正如 Euler 所期望的那样。

您可以使用此信息进一步改进您的循环。由于浮点数的精度有限（具体而言，尾数为 53 位），您可以在 |dn / n| < 2**-53 时停止迭代：

import math

def cos(x, conv=2**-53):
    x %= 2 * math.pi
    c = 2
    n = 1.0
    dn = -x**2 / 2.0
    while abs(n / dn) > conv:
        n += dn
        c += 2
        dn *= -x**2 / (c * (c - 1))
    return n

>>> print(cos2(5), math.cos(5))
0.28366218546322675 0.28366218546322625
>>> print(cos(1000), math.cos(1000))
0.5623790762906709 0.5623790762907029
>>> print(cos(1000, 1e-6), math.cos(1000))
0.5623792855306163 0.5623790762907029
>>> print(cos2(1000, 1e-100), math.cos(1000))
0.5623790762906709 0.5623790762907029

参数conv 不仅仅是|dn/n| 上的界限。由于以下术语切换符号，它也是结果整体精度的上限。