将“n”划分为三个平方和的数量（快速算法）

Question

几年前我发现了一个有趣的编程问题：
“找到n 的分区数为n < 10^9 和1 秒时间限制的三个平方之和。”

问题：有谁知道如何在给定的约束条件下解决这个问题？
我认为它可以纯粹用渐近时间复杂度比O(n) 快​​吗？是否有一些巧妙的数学方法或者是代码优化工程问题？

我在https://oeis.org/A000164 上找到了一些信息，但在公式部分中有一个O(n)-algo
（因为我们需要在 MAPLE 部分找到每个 n-k^2 数字的所有除数以计算 e(n-k^2)）和 O(n)-algo。

Answer 1

是的。首先将数字n - z^2分解为素数，将素数分解为高斯共轭，并找到不同的表达式进行扩展和简化得到a + bi，然后可以将其提升为a^2 + b^2。我们可以排除任何候选 n - z^2 包含具有奇数幂的 4k + 3 形式的素数。

这是基于将数字表示为高斯整数共轭。 (a + bi)*(a - bi) = a^2 + b^2。见https://mathoverflow.net/questions/29644/enumerating-ways-to-decompose-an-integer-into-the-sum-of-two-squares和https://stackoverflow.com/a/54839035/2034787