【发布时间】：2015-03-28 14:51:50
【问题描述】：
这个问题是在练习比赛中出现的：
计算第 N 个三角数，它也是一个平方数，模 10006699。(1 ≤ N ≤ 10^18) 最多有 10^5 个测试案例。
我发现我可以很容易地用递归关系计算它 Ti = 6Ti-1 - Ti-2 sub> + 2，其中 T0 = 0 和 T1 = 1。 p>
我使用矩阵求幂来获得每个测试用例大约 O(log N) 的性能，但它显然太慢了，因为有 10^5 个测试用例。事实上，即使约束只有 (1 ≤ N ≤ 10^6)，这段代码也太慢了，我可以只进行 O(N) 预处理和 O(1) 查询。
我应该改变解决问题的方法，还是应该只优化代码的某些部分？
#include <ios>
#include <iostream>
#include <vector>
#define MOD 10006699
/*
Transformation Matrix:
0 1 0 t[i] t[i+1]
-1 6 1 * t[i+1] = t[i+2]
0 0 1 2 2
*/
std::vector<std::vector<long long int> > multi(std::vector<std::vector<long long int> > a, std::vector<std::vector<long long int> > b)
{
std::vector<std::vector<long long int> > c(3, std::vector<long long int>(3));
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
for (int j = 0; j < 3; j++)
{
for (int k = 0; k < 3; k++)
{
c[i][j] += (a[i][k] * b[k][j]) % MOD;
c[i][j] %= MOD;
}
}
}
return c;
}
std::vector<std::vector<long long int> > power(std::vector<std::vector<long long int> > vec, long long int p)
{
if (p == 1) return vec;
else if (p % 2 == 1) return multi(vec, power(vec, p-1));
else
{
std::vector<std::vector<long long int> > x = power(vec, p/2);
return multi(x, x);
}
}
int main()
{
std::ios_base::sync_with_stdio(false);
long long int n;
while (std::cin >> n)
{
if (n == 0) break;
else
{
std::vector<std::vector<long long int> > trans;
long long int ans;
trans.resize(3);
trans[0].push_back(0);
trans[0].push_back(1);
trans[0].push_back(0);
trans[1].push_back(-1);
trans[1].push_back(6);
trans[1].push_back(1);
trans[2].push_back(0);
trans[2].push_back(0);
trans[2].push_back(1);
trans = power(trans, n);
ans = (trans[0][1]%MOD + (2*trans[0][2])%MOD)%MOD;
if (ans < 0) ans += MOD;
std::cout << ans << std::endl;
}
}
}
【问题讨论】：
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你能解释一下你是怎么得出这个公式的吗？
标签： c++ algorithm dynamic-programming matrix-multiplication