查找一系列数字的 LCM

Question

我今天读到了一篇有趣的 DailyWTF 帖子，"Out of All The Possible Answers..."，它让我很感兴趣，以至于我挖出了原来的 forum post。这让我开始思考如何解决这个有趣的问题——最初的问题是在Project Euler 上提出的：

2520 是可以除以每个 从 1 到 10 的数字，没有任何余数。

能被所有元素整除的最小数是多少 从 1 到 20 的数字？

要将这个问题改造成一个编程问题，你将如何创建一个函数来找到任意数字列表的最小公倍数？

尽管我对编程很感兴趣，但我在纯数学方面非常糟糕，但经过一些谷歌搜索和一些实验后，我能够解决这个问题。我很好奇 SO 用户可能采取的其他方法。如果您愿意，请在下面发布一些代码，并附上解释。请注意，虽然我确信存在用于以各种语言计算 GCD 和 LCM 的库，但我更感兴趣的是比调用库函数更直接地显示逻辑的东西 :-)

我最熟悉 Python、C、C++ 和 Perl，但欢迎使用任何您喜欢的语言。为像我这样的其他数学挑战者解释逻辑的奖励积分。

编辑：提交后我确实发现了这个类似的问题Least common multiple for 3 or more numbers，但它的回答与我已经弄清楚的相同基本代码并且没有真正的解释，所以我觉得这已经足够不同了保持打开状态。

Answer 1

答案根本不需要任何花哨的步法，就因式分解或主幂而言，而且最肯定不需要埃拉托色尼筛。

相反，您应该通过使用欧几里得算法（不需要分解，实际上速度明显更快）计算 GCD 来计算单对的 LCM：

def lcm(a,b):
    gcd, tmp = a,b
    while tmp != 0:
        gcd,tmp = tmp, gcd % tmp
    return a*b/gcd

然后你可以使用上面的 lcm() 函数找到我减少数组的总 LCM：

reduce(lcm, range(1,21))

Answer 2

这个问题很有趣，因为它不需要你找到任意一组数字的 LCM，你得到了一个连续的范围。您可以使用Sieve of Eratosthenes 的变体来找到答案。

def RangeLCM(first, last):
    factors = range(first, last+1)
    for i in range(0, len(factors)):
        if factors[i] != 1:
            n = first + i
            for j in range(2*n, last+1, n):
                factors[j-first] = factors[j-first] / factors[i]
    return reduce(lambda a,b: a*b, factors, 1)

---

编辑：最近的一次投票让我重新审视了这个超过 3 年的答案。我的第一个观察是，我今天会用enumerate 来写它。为了使其与 Python 3 兼容，需要进行一些小的更改。

第二个观察结果是，该算法仅在范围的起点为 2 或更小时才有效，因为它不会尝试筛选出范围起点以下的公因子。例如，RangeLCM(10, 12) 返回 1320 而不是正确的 660。

第三个观察结果是，没有人试图将此答案与任何其他答案进行计时。我的直觉说，随着范围变大，这将比蛮力 LCM 解决方案有所改善。测试证明我的直觉是正确的，至少这一次。

由于该算法不适用于任意范围，因此我将其重写为假设范围从 1 开始。我在最后删除了对 reduce 的调用，因为计算结果更容易，因为因子是生成。相信新版本的函数更正确也更容易理解。

def RangeLCM2(last):
    factors = list(range(last+1))
    result = 1
    for n in range(last+1):
        if factors[n] > 1:
            result *= factors[n]
            for j in range(2*n, last+1, n):
                factors[j] //= factors[n]
    return result

以下是与原始的一些时间比较以及Joe Bebel 提出的解决方案，在我的测试中称为RangeEuclid。

>>> t=timeit.timeit
>>> t('RangeLCM.RangeLCM(1, 20)', 'import RangeLCM')
17.999292996735676
>>> t('RangeLCM.RangeEuclid(1, 20)', 'import RangeLCM')
11.199833288867922
>>> t('RangeLCM.RangeLCM2(20)', 'import RangeLCM')
14.256165588084514
>>> t('RangeLCM.RangeLCM(1, 100)', 'import RangeLCM')
93.34979585394194
>>> t('RangeLCM.RangeEuclid(1, 100)', 'import RangeLCM')
109.25695507389901
>>> t('RangeLCM.RangeLCM2(100)', 'import RangeLCM')
66.09684505991709

对于问题中给出的 1 到 20 的范围，欧几里得算法击败了我的旧答案和新答案。对于 1 到 100 的范围，您可以看到基于筛的算法领先，尤其是优化版本。

Answer 3

有一个快速的解决方案，只要范围是 1 到 N。

关键的观察是如果n (p_1^a_1 * p_2^a_2 * ... p_k * a_k， 那么它将对 LCM 贡献与p_1^a_1 和p_2^a_2，...p_k^a_k 完全相同的因素。而且这些权力中的每一个也在1到N的范围内。因此，我们只需要考虑小于 N 的最高纯素数。

例如我们有 20 个

2^4 = 16 < 20
3^2 = 9  < 20
5^1 = 5  < 20
7
11
13
17
19

将所有这些素数相乘，我们得到所需的结果

2*2*2*2*3*3*5*7*11*13*17*19 = 232792560

所以在伪代码中：

def lcm_upto(N):
  total = 1;
  foreach p in primes_less_than(N):
    x=1;
    while x*p <= N:
      x=x*p;
    total = total * x
  return total

现在您可以调整内部循环以稍微不同的工作方式来获得更快的速度，并且您可以预先计算 primes_less_than(N) 函数。

编辑：

由于最近的一次投票，我决定重新审视这个，看看与其他列出的算法的速度比较如何。

针对 Joe Beibers 和 Mark Ransoms 方法的 1-160 范围和 10k 次迭代的时间安排如下：

乔：1.85 秒 分数：3.26s 我的：0.33s

这是一个日志图，结果高达 300。

我的测试代码可以在这里找到：

import timeit


def RangeLCM2(last):
    factors = range(last+1)
    result = 1
    for n in range(last+1):
        if factors[n] > 1:
            result *= factors[n]
            for j in range(2*n, last+1, n):
                factors[j] /= factors[n]
    return result


def lcm(a,b):
    gcd, tmp = a,b
    while tmp != 0:
        gcd,tmp = tmp, gcd % tmp
    return a*b/gcd

def EuclidLCM(last):
    return reduce(lcm,range(1,last+1))

primes = [
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 
 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 
 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 
 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 
 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 
 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 
 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 
 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 
 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 
 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 
 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 
 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 
 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 
 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 
 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 
 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 
 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 ]

def FastRangeLCM(last):
    total = 1
    for p in primes:
        if p>last:
            break
        x = 1
        while x*p <= last:
            x = x * p
        total = total * x
    return total


print RangeLCM2(20)
print EculidLCM(20)
print FastRangeLCM(20)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(20)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(20)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(20)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(40)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(40)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(40)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(60)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(60)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(60)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(80)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(80)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(80)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(100)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(100)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(100)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(120)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(120)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(120)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(140)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(140)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(140)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(160)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(160)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(160)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

Answer 4

Haskell 中的单行代码。

wideLCM = foldl lcm 1

这是我在自己的 Project Euler 问题 5 中使用的。

Answer 5

在 Haskell 中：

listLCM xs =  foldr (lcm) 1 xs

你可以传递一个列表，例如：

*Main> listLCM [1..10]
2520
*Main> listLCM [1..2518]
266595767785593803705412270464676976610857635334657316692669925537787454299898002207461915073508683963382517039456477669596355816643394386272505301040799324518447104528530927421506143709593427822789725553843015805207718967822166927846212504932185912903133106741373264004097225277236671818323343067283663297403663465952182060840140577104161874701374415384744438137266768019899449317336711720217025025587401208623105738783129308128750455016347481252967252000274360749033444720740958140380022607152873903454009665680092965785710950056851148623283267844109400949097830399398928766093150813869944897207026562740359330773453263501671059198376156051049807365826551680239328345262351788257964260307551699951892369982392731547941790155541082267235224332660060039217194224518623199770191736740074323689475195782613618695976005218868557150389117325747888623795360149879033894667051583457539872594336939497053549704686823966843769912686273810907202177232140876251886218209049469761186661055766628477277347438364188994340512556761831159033404181677107900519850780882430019800537370374545134183233280000

Answer 6

一个或多个数字的 LCM 是所有数字中所有不同素因数的乘积，每个素数是该素数出现在数字中的所有幂的最大值的幂的LCM。

假设 900 = 2^3 * 3^2 * 5^2，26460 = 2^2 * 3^3 * 5^1 * 7^2。 2 的最大幂是 3，3 的最大幂是 3，5 的最大幂是 1，7 的最大幂是 2，任何更高质数的最大幂都是 0。 所以 LCM 为：264600 = 2^3 * 3^3 * 5^2 * 7^2。

Answer 7

print "LCM of 4 and 5 = ".LCM(4,5)."\n";

sub LCM {
    my ($a,$b) = @_;    
    my ($af,$bf) = (1,1);   # The factors to apply to a & b

    # Loop and increase until A times its factor equals B times its factor
    while ($a*$af != $b*$bf) {
        if ($a*$af>$b*$bf) {$bf++} else {$af++};
    }
    return $a*$af;
}

Answer 8

Haskell 中的一种算法。这是我现在认为的算法思维语言。这可能看起来很奇怪、复杂且不受欢迎——欢迎使用 Haskell！

primes :: (Integral a) => [a]
--implementation of primes is to be left for another day.

primeFactors :: (Integral a) => a -> [a]
primeFactors n = go n primes where
    go n ps@(p : pt) =
        if q < 1 then [] else
        if r == 0 then p : go q ps else
        go n pt
        where (q, r) = quotRem n p

multiFactors :: (Integral a) => a -> [(a, Int)]
multiFactors n = [ (head xs, length xs) | xs <- group $ primeFactors $ n ]

multiProduct :: (Integral a) => [(a, Int)] -> a
multiProduct xs = product $ map (uncurry (^)) $ xs

mergeFactorsPairwise [] bs = bs
mergeFactorsPairwise as [] = as
mergeFactorsPairwise a@((an, am) : _) b@((bn, bm) : _) =
    case compare an bn of
        LT -> (head a) : mergeFactorsPairwise (tail a) b
        GT -> (head b) : mergeFactorsPairwise a (tail b)
        EQ -> (an, max am bm) : mergeFactorsPairwise (tail a) (tail b)

wideLCM :: (Integral a) => [a] -> a
wideLCM nums = multiProduct $ foldl mergeFactorsPairwise [] $ map multiFactors $ nums

Answer 9

这是我的 Python 尝试：

#!/usr/bin/env python

from operator import mul

def factor(n):
    factors = {}
    i = 2 
    while i <= n and n != 1:
        while n % i == 0:
            try:
                factors[i] += 1
            except KeyError:
                factors[i] = 1
            n = n / i
        i += 1
    return factors

base = {}
for i in range(2, 2000):
    for f, n in factor(i).items():
        try:
            base[f] = max(base[f], n)
        except KeyError:
            base[f] = n

print reduce(mul, [f**n for f, n in base.items()], 1)

第一步得到一个数的质因数。第二步构建每个因子被看到的最大次数的哈希表，然后将它们全部相乘。

Answer 10

这可能是迄今为止我见过的最简洁、最短的答案（无论是就代码行而言）。

def gcd(a,b): return b and gcd(b, a % b) or a
def lcm(a,b): return a * b / gcd(a,b)

n = 1
for i in xrange(1, 21):
    n = lcm(n, i)

来源：http://www.s-anand.net/euler.html

Answer 11

这是我在 JavaScript 中的答案。我首先从素数着手，并开发了一个很好的可重用代码函数来查找素数并查找素数因子，但最终决定这种方法更简单。

我的答案中没有什么独特之处没有在上面发布，它只是在 Javascript 中，我没有具体看到。

//least common multipe of a range of numbers
function smallestCommons(arr) {
   arr = arr.sort();
   var scm = 1; 
   for (var i = arr[0]; i<=arr[1]; i+=1) { 
        scm =  scd(scm, i); 
    }
  return scm;
}


//smallest common denominator of two numbers (scd)
function scd (a,b) {
     return a*b/gcd(a,b);
}


//greatest common denominator of two numbers (gcd)
function gcd(a, b) {
    if (b === 0) {  
        return a;
    } else {
       return gcd(b, a%b);
    }
}       

smallestCommons([1,20]);

Answer 12

这是我的 javascript 解决方案，我希望你觉得它很容易理解：

function smallestCommons(arr) {
  var min = Math.min(arr[0], arr[1]);
  var max = Math.max(arr[0], arr[1]);

  var smallestCommon = min * max;

  var doneCalc = 0;

  while (doneCalc === 0) {
    for (var i = min; i <= max; i++) {
      if (smallestCommon % i !== 0) {
        smallestCommon += max;
        doneCalc = 0;
        break;
      }
      else {
        doneCalc = 1;
      }
    }
  }

  return smallestCommon;
}

Answer 13

这是使用 C 语言的解决方案

#include<stdio.h>
    int main(){
    int a,b,lcm=1,small,gcd=1,done=0,i,j,large=1,div=0;
    printf("Enter range\n");
    printf("From:");
    scanf("%d",&a);
    printf("To:");
    scanf("%d",&b);
    int n=b-a+1;
    int num[30];
    for(i=0;i<n;i++){
        num[i]=a+i;
    }
    //Finds LCM
    while(!done){
        for(i=0;i<n;i++){
            if(num[i]==1){
                done=1;continue;
            }
            done=0;
            break;
        }
        if(done){
            continue;
        }
        done=0;
        large=1;
        for(i=0;i<n;i++){
            if(num[i]>large){
                large=num[i];
            }
        }
        div=0;
        for(i=2;i<=large;i++){
            for(j=0;j<n;j++){
                if(num[j]%i==0){
                    num[j]/=i;div=1;
                }
                continue;
            }
            if(div){
                lcm*=i;div=0;break;
            }
        }
    }
    done=0;
    //Finds GCD
    while(!done){
        small=num[0];
        for(i=0;i<n;i++){
            if(num[i]<small){
                small=num[i];
            }
        }
        div=0;
        for(i=2;i<=small;i++){
            for(j=0;j<n;j++){
                if(num[j]%i==0){
                    div=1;continue;
                }
                div=0;break;
            }
            if(div){
                for(j=0;j<n;j++){
                    num[j]/=i;
                }
                gcd*=i;div=0;break;
            }
        }
        if(i==small+1){
            done=1;
        }
    }
    printf("LCM = %d\n",lcm);
    printf("GCD = %d\n",gcd);
    return 0;
}

Answer 14

在扩展@Alexander 的评论时，我要指出，如果您可以将数字分解为素数，删除重复项，然后相乘，您就会得到答案。

例如，1-5 的质因数是 2,3,2,2,5。从“4”的因子列表中删除重复的“2”，得到 2,2,3,5。将它们相乘得到 60，这就是您的答案。

上一条评论中提供的 Wolfram 链接 http://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html 采用更正式的方法，但上面是简短版本。

干杯。