Miller-Rabin 实现中的错误

Question

我正在实施Wikipedia's Miller-Rabin algorithm，但似乎并没有得到非常恰当的结果。 7, 11, 19, 23 等被报道为复合材料。事实上，当 k>12 时，即使 5 也显示为复合。我已经阅读了 Miller-Rabin 背后的数学，但不太了解它，并且盲目地依赖算法。关于我哪里出错的任何线索？

这是我的代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>

int modpow(int b, int e, int m) {
    long result = 1;

    while (e > 0) {
        if ((e & 1) == 1) {
            result = (result * b) % m;
        }
        b = (b * b) % m;
        e >>= 1;
    }

    return result;
}

int isPrime(long n,int k){
        int a,s,d,r,i,x,loop;
        if(n<2)return 0;
        if(n==2||n==3)return 1;
        if(n%2==0)return 0;

        d=n-1;
        s=0;
        while(d&1==0){
                d>>=1;
                s++;
        }


        for(i=0;i<k;i++){
                loop=0;
                a=(int)(rand()*(n-1))+1;
                x=modpow(a,d,n);
                if(x==1 || x==n-1){
                        continue;

                }
                for(r=1;r<=s;r++){
                        x=modpow(x,2,n);
                        if(x==1)return 0;
                        if(x==n-1){
                                loop=1;
                                break;
                        }
                }
                if(!loop)return 0;

        }
        return 1; 

}

int main(){
        int i,k;
        scanf("%d",&k);
        for(i=5;i<100;i+=2){
                printf("%d : %d\n",i,isPrime(i,k));
        }
        return 0;
}

Answer 1

如果碱基与候选者不互质，则强费马检查总是返回“不是可能的素数”。

你的错误

a=(int)(rand()*(n-1))+1;

对于素数 p，当且仅当 rand() 的结果具有以下形式时，底数不是 p（p 的倍数）的互质数

k*p + 1

对于小素数，即使迭代很少，也几乎可以保证发生这种情况。

基数应介于 2 和 n/2 之间（选择大于 n/2 的基数是不必要的，因为当且仅当 n - a 是一个时，a 是复合性的见证），所以你想要类似

a = rand() % (n/2 - 2) + 2;

如果您不介意随机数生成中偏向小余数的模偏差，或者

a = rand() /(RAND_MAX + 1.0) * (n/2 - 2) + 2;

如果您想在整个可能范围内分配偏差。