求满足三角不等式的图中所有边权重之和与MST之间的关系

【问题标题】：Derive relationship between sum of all edge weights and MST in a graph satisfying the triangle inequality求满足三角不等式的图中所有边权重之和与MST之间的关系
【发布时间】：2016-01-06 20:37:40
【问题描述】：

如果对于每条边 (u, v)，(u, v) 的权重小于或等于任何其他边的长度，则称具有 n 个顶点和 m 个边的加权无向图满足三角不等式从 u 到 v 的替代路径。

证明对于这样的图，所有边的总权重为

（提示：图中不属于最小生成树的边的最大可能权重是多少？）

【问题讨论】：

到目前为止你做了什么？你回答了提示中的问题了吗？

标签： graph computer-science proof minimum-spanning-tree

【解决方案1】：

解决提示

不在最小生成树中的边的权重小于或等于 MST（通过三角不等式）。

要了解这一点，请考虑从 u 到 v 的唯一其他路径是整个最小生成树的情况。（必须存在其他路径，否则边将在最小生成树中，这是矛盾的。）然后，根据三角形不等式，该边的权重必须小于或等于这条替代路径的权重，即 MST .

尝试解决问题的其余部分

在生成树中最多可以有 m-n+1 条边。（在具有相同数量的节点和边的图中，最多有一条边不在MST中）。

这些边的总权重

【讨论】：

感谢您的宝贵时间，非常感谢！
别担心，伙计。如果您找到完整答案，请务必回来发布。