如何计算有向图中的所有可达节点？

Question

有一个有向图（可能包含循环），每个节点都有一个值，我们如何获得每个节点的可达值之和。例如，在下图中：

节点 1 的可达和为：2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27

节点 2 的可达和为：4 + 5 + 6 + 7 = 22

.....

我的解决方案：要得到所有节点的总和，我认为时间复杂度是O(n + m)，n是节点数，m代表边数。应该使用DFS，对于每个节点我们应该使用递归的方法找到它的子节点，并在完成计算时保存子节点的总和，这样以后我们就不需要再计算了。需要为每个节点创建一个集合，避免循环导致的无休止计算。

有效吗？我认为它不够优雅，尤其是必须创建许多集合。有没有更好的解决方案？谢谢。

Answer 1

这可以通过首先找到Strongly Connected Components (SCC) 来完成，这可以在O(|V|+|E|) 中完成。然后，为 SCC 构建一个新图 G'（每个 SCC 是图中的一个节点），其中每个节点的值是该 SCC 中节点的总和。

正式地，

G' = (V',E')
Where V' = {U1, U2, ..., Uk | U_i is a SCC of the graph G}
E' = {(U_i,U_j) | there is node u_i in U_i and u_j in U_j such that (u_i,u_j) is in E }

那么，这个图（G'）就是一个DAG，问题就变得简单了，好像是question linked in comments的变种。

EDIT 以前的答案（删除）从这一点来看是一个错误，用新答案进行编辑。对此感到抱歉。

现在，可以从每个节点使用 DFS 来查找值的总和：

DFS(v):
  if v.visited:
    return 0
  if v is leaf:
    return v.value
  v.visited = true
  return sum([DFS(u) for u in v.children])

• 这是 O(V^2 + VE) 最差的花瓶，但由于图中的节点较少，V 和 E 现在显着降低。
• 可以进行一些局部优化，例如，如果一个节点有一个子节点，您可以重用预先计算的值，并且不再对子节点应用 DFS，因为在这种情况下不用担心计算两次。

这个问题的DP解决方案（DAG）可以是：

D[i] = value(i) + sum {D[j] | (i,j) is an edge in G' }

这可以以线性时间计算（在 DAG 的topological sort 之后）。

伪代码：

1. 查找 SCC
2. 构建 G'
3. 拓扑排序 G'
4. 为 G' 中的每个节点找到 D[i]
5. 为每个 U_i 中的所有节点 u_i 应用值。

总时间为O(|V|+|E|)。

Answer 2

您可以使用DFS 或BFS 算法来解决您的问题。 两者都有复杂性O(V + E)

您不必计算所有节点的所有值。而且你不需要递归。 做这样的东西。

DFS 通常看起来像这样。

unmark all vertices
choose some starting vertex x
mark x
list L = x
while L nonempty
    choose some vertex v from front of list
    visit v
    for each unmarked neighbor w
        mark w
        add it to end of list

在您的情况下，您必须添加一些行

unmark all vertices
choose some starting vertex x
mark x
list L = x
float sum = 0
while L nonempty
    choose some vertex v from front of list
    visit v
    sum += v->value
    for each unmarked neighbor w
        mark w
        add it to end of list