理解为什么 Dijkstra 的算法在带有负边的图上失败的解释？

Question

我正在阅读 Sanjoy DasGupta 的名为“算法”的书（第 122 页）中存在负边时的最短路径

http://beust.com/algorithms.pdf

Dijkstra 算法之所以有效，部分原因是从 任何节点 v 的起点 s 必须排他地通过节点 比 v 更接近。当边长可以是 消极的。在图 4.12 中，从 S 到 A 的最短路径经过 B，更远的节点。

    (S,A) = 3, (S,B)=4, (B,A)= =2



S-----3--------A
   |           ^
   |           |
   4          -2
   |           |
   |           |
   B----------->

为了适应这种新的变化，需要进行哪些更改 并发症？为了回答这个问题，让我们从一个特定的高级视图 Dijkstra 算法。一个关键的不变量是 dist 值 它认为总是高估或完全正确。他们 从无穷大开始，他们改变的唯一方法是 沿边更新

：

procedure update((u; v) belongsto E)
dist(v) = min{dist(v), dist(u) + l(u,v)}

这个更新操作只是一个事实的表达，即 到 v 的距离不可能大于到 u 的距离，加上 l(u, v)。它具有以下属性。 1. 在 u 是到 v 的最短路径中的倒数第二个节点且 dist(u) 的特定情况下，它给出了到 v 的正确距离 正确设置。 2.它永远不会使dist(v)太小，从这个意义上说它是安全的。例如，大量无关的更新不会造成伤害。

这个操作非常有用：它是无害的，如果使用 仔细，将正确设置距离。实际上，Dijkstra 算法 可以简单地认为是一系列更新。我们知道这一点 特定序列不适用于负边缘，但是否存在 其他一些序列呢？为了了解这个属性 序列必须具备，我们挑一个节点t，看看最短的 从 s 到它的路径。

我对上述文字的问题是

1. 作者所说的第二个属性是什么意思？ “它永远不会使 dist(v) 变得太小，从这个意义上说它是安全的。例如，大量无关的更新不会造成伤害。”我无法理解这个
2. 作者所说的“我们知道这个特定的序列不适用于负边，但是还有其他序列可以吗？”是什么意思？我不是以英语为母语的人，很难理解这句话吗？

Answer 1

对于您的第一个问题 - “它永远不会使 dist(v) 太小”这句话是什么意思？ - 我认为作者指的是 Dijkstra 算法的一个特定属性：如果您查看 Dijkstra 算法存储到图中每个节点的距离，存储到特定节点的距离永远不会小于实际距离。事实上，如果您有非负边权重并在运行 Dijkstra 算法时查看距离，则距离将不断减小和减小，直到它们最终收敛于真实距离。从这个意义上说，Dijkstra 的算法不断地获得越来越好的真实距离近似值，但从来没有一个节点的距离太短。

对于您的第二个问题，我认为作者要求您考虑如果您要在任何输入图上运行 Dijkstra 算法会发生什么。随着算法的运行，它不断更新对图中起始节点和其他节点之间距离的猜测。作者说，如果你运行 Dijkstra 的算法并观察它是如何工作的，你会看到一系列对某个子程序 update 的调用会改变这些距离。即使算法给出了错误的最终答案，它仍然可以通过反复调用update 来工作。