我有点喜欢三角学，所以我知道将角度映射到我们通常拥有的某些值的最佳方法是切线。当然，如果我们想要一个有限的数字来避免比较 {sign(x),y/x} 的麻烦，那就有点混乱了。
但是有一个函数可以将 [1,+inf[ 映射到 [1,0[ 称为逆函数，这将允许我们有一个有限的范围来映射角度。正切的倒数是众所周知的余切，因此是 x/y（是的，就这么简单）。
一个小插图，显示单位圆上正切和余切的值：
当|x| 时，您会看到这些值是相同的。 = |y|，您还可以看到，如果我们对两个圆圈上输出值介于 [-1,1] 之间的部分进行着色，我们就可以为整个圆圈着色。要使这种值映射连续且单调，我们可以这样做：
- 使用余切的对立面与切线具有相同的单调性
- 将 2 添加到 -cotan，使 tan=1 处的值一致
- 将 4 添加到圆的一半（例如，在 x=-y 对角线下方）以使值适合不连续点之一。
这给出了以下分段函数，它是角度的连续且单调的函数，只有一个不连续性（这是最小的）：
double pseudoangle(double dx, double dy)
{
// 1 for above, 0 for below the diagonal/anti-diagonal
int diag = dx > dy;
int adiag = dx > -dy;
double r = !adiag ? 4 : 0;
if (dy == 0)
return r;
if (diag ^ adiag)
r += 2 - dx / dy;
else
r += dy / dx;
return r;
}
请注意，这与Fowler angles 非常接近，具有相同的属性。正式地，pseudoangle(dx,dy) + 1 % 8 == Fowler(dx,dy)
说到性能，它远没有 Fowler 的代码那么繁琐（而且通常也不那么复杂 imo）。在 gcc 6.1.1 上使用 -O3 编译，上面的函数生成一个带有 4 个分支的汇编代码，其中两个来自 dy == 0（一个检查两个操作数是否“无序”，因此如果 dy 是 NaN ，另一个检查它们是否相等）。
我认为这个版本比其他版本更精确，因为它只使用尾数保留操作，直到将结果转移到正确的间隔。这在 |x| 时尤其明显。 > |x|，则运算 |x| + |y|失去了相当多的精度。
如图所示，角度-伪角度关系也非常接近线性。
看看分支是从哪里来的，我们可以做如下注释：
如果我们选择得到大致相同的结果（直到舍入误差）但没有分支，我们可能会滥用 copsign 并编写：
double pseudoangle(double dx, double dy)
{
double s = dx + dy;
double d = dx - dy;
double r = 2 * (1.0 - copysign(1.0, s));
double xor_sign = copysign(1.0, d) * copysign(1.0, s);
r += (1.0 - xor_sign);
r += (s - xor_sign * d) / (d + xor_sign * s);
return r;
}
如果 dx 和 dy 的绝对值接近，则由于 d 或 s 中的取消，可能会发生比以前的实现更大的错误。没有检查除以零以与其他实现进行比较，因为这仅在 dx 和 dy 都为 0 时发生。