关于大 O 表示法 (N*N?)答案

【问题标题】：About Big O Notation (N*N?)关于大 O 表示法 (N*N?)
【发布时间】：2014-06-05 13:30:40
【问题描述】：

我有一些问题正在努力寻找大 O 来解决。让我困惑的是 (N*N) 个问题：

for (i=1, sum=0, i <= N; i++) {
  for (j=1; j <= N*N; j++) {
     sum++;
  }
}

我猜它是 O(N^3)，因为 (N*N) 可能代表两个循环。

for (i=1, sum=0, i <= N; i++) {
  for (j=1; j <= N*N; j++) {
     for (k=1; k<=j; k++) {
       sum++;
     }
  }
}

如果是这样，那么这个将是 O(N^4)？

【问题讨论】：

N*N 是 n^2。这是一个非常基本的参考：rob-bell.net/2009/06/a-beginners-guide-to-big-o-notation
在第二个例子的最里面的循环中，它使用了k的限制，这是j的函数，所以我想说答案可能更接近O(N^3*log(N))跨度>
@TrippKinetics 1+2+3+...+n = O(n²)，所以我怀疑那里有 log。
是的，但请看第二个示例的最内层循环。它不使用1, 2, 3... n。它使用1, 2, 3... j j 去1, 2, 3... n^3。
Duke 是对的，记住 Big-Oh 是上限。方程的上限为 N^5（内环 = N^2，中环 = N^2 外环 = N。）特里普，记住循环第一次运行时是 1，然后是 2，然后是 3。一路高达 2N。

标签： math big-o computer-science

【解决方案1】：

for (i=1, sum=0, i <= N; i++) {  // loop over i
  for (j=1; j <= N*N; j++) {     // loop over j, no dependency
     sum++;
  }
}

j 上的内部循环独立于i，具有复杂性O(N*N)。外部循环执行N 次，因此总共O(N^3)。

for (i=1, sum=0, i <= N; i++) {  // loop over i
  for (j=1; j <= N*N; j++) {     // loop over j, no dependency
     for (k=1; k<=j; k++) {      // loop over k, dependent on j
       sum++;
     }
  }
}

k 上的循环依赖于j。 j 在整数上独立循环，直到 N*N。总和1 + 2 + ... + N * N 等于(N * N + 1) * N * N / 2，即O(N^4)。现在，i 上的循环又重复了 N 次，因此总复杂度为 O(N^5)。

为了计算大O，总是从最里面的循环开始，注意依赖关系！

【讨论】：

您的平方和公式似乎是错误的。 AFAIK 公式是(n * (n + 1) * (2 * n + 1)) / 6，它的顺序是n^3。
@IvayloStrandjev 不，这不是平方和，而是整数的总和，直到 N 的平方。巨大的差异。
@IvayloStrandjev 实际上，在写下我的答案之前我犯了同样的错误;-)

【解决方案2】：

您可以使用 Sigma 表示法有条不紊地正式进行：

【讨论】：

【解决方案3】：

我认为是 O(N^5)。

第一个（外部）循环是 O(N)。

第二个是O(N^2)。

最后一个也是O(N^2)。

【讨论】：

最后一个依赖于第二个，所以我不会说单独提到它的运行时间是完全正确的。