如何以大 O 表示法计算 O(log n)？答案

【问题标题】：How to calculate O(log n) in big O notation?如何以大 O 表示法计算 O(log n)？
【发布时间】：2015-01-22 10:17:57
【问题描述】：

我知道O(log n) 是指通过问题集N（大 O 表示法）的固定比率的迭代减少，但我如何实际计算它以查看具有@987654323 的算法的迭代次数@complexity 必须在问题集N 完成之前执行（还剩下一个元素）？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

你不能。您无需使用 BigO 计算确切的迭代次数。

当您有精确的迭代次数公式时，您可以“推导出”BigO。

BigO 仅提供信息迭代次数如何随着 N 的增长而增长，并且仅适用于“大”N。

不多也不少。有了这个，你可以得出结论，如果你有一些样本运行，算法将花费多少操作/时间。

【讨论】：

是的，感谢您的回答。正如您所说，在您知道问题集减少的确切比例的情况下，您可以推导出它，但是有没有比在 while 循环中运行计算更有效的方法，例如：while(N > 1){ N=N/2} 或类似的东西？换句话说，考虑到每次迭代的问题集的精确减少，您是否可以在计算器上进行计算，以准确计算需要多少次迭代？谢谢。
不不，你不做任何循环。您将循环转换为求和和其他数学公式，然后，是的，您可以计算操作数。例如，您有一个 INSERT 操作，该操作采用 O(log SIZE) 来完成数据结构，例如添加元素。你有算法需要从 N 元素构造这样的数据结构，你决定将它们一一插入，你将拥有 Sum over i from 0 to N-1: O(INSERT(i)) => Sum over i from 0 to N-1: O(log(i)) => 从 O 属性你可以“把它带到外面”O( Sum over i from 0 to N-1: log(i) ) .

【解决方案2】：

用 Tim Roughgarden 在他的算法课程中的话表达：

big-Oh 表示法试图为高级算法推理提供最佳位置

这意味着它旨在描述算法执行时间与其输入大小之间的关系，避免依赖于系统架构、编程语言或选择的编译器。

想象一下 big-Oh 表示法可以提供准确的执行时间，这意味着对于任何知道其 big-Oh 时间复杂度函数的算法，您都可以预测它在任何机器上的行为。

另一方面，它以渐近行为为中心。也就是说，它的描述对于大 n 值更准确（这就是为什么在大哦符号中忽略算法时间函数的低阶项）。可以推断，较低的 n 值并不要求您努力提高算法性能。

【讨论】：

【解决方案3】：

Big O 表示法仅显示一个数量级 - 而不是算法将执行的实际操作数。如果您需要计算循环迭代或基本操作的确切次数，则必须手动完成。然而，在大多数实际用途中，确切的数字是无关紧要的——O(log n) 告诉你 num。的操作将随着n 的加薪对数上升

【讨论】：

【解决方案4】：

从大 O 表示法中，您无法准确判断算法将进行多少次迭代，这只是估计。这意味着对于较小的数字，log(n) 和实际迭代次数之间的差异可能会有显着差异，但越接近无穷大，差异就越不显着。

【讨论】：

【解决方案5】：

如果您做出一些假设，您可以将时间估计为一个常数因子。最大的假设是，当规模趋于无穷大时，限制行为与您关心的问题规模的实际行为相同。

在该假设下，对于某个常数C，大小N 问题的时间上限是C*log(N)。该常数将根据您用于计算对数的底数而变化。只要您对此保持一致，基础就无关紧要。如果您有一种尺寸的测量时间，您可以估计 C 并使用它来估计不同尺寸的时间。

例如，假设大小为 100 的问题需要 20 秒。使用常用对数，C 为 10。（100 的常用对数为 2）。这表明大小为 1000 的问题可能需要大约 30 秒，因为 1000 的常见日志是 3。

但是，这非常粗糙。该方法对于估计算法是否可用于解决大问题最有用。在这种情况下，您还必须注意内存大小。一般来说，设置问题的规模至少是线性的，因此它的成本会比O(log N) 操作增长得更快。

【讨论】：