Big-O 复杂度递归与迭代答案

【问题标题】：Big-O complexity recursion Vs iterationBig-O 复杂度递归与迭代
【发布时间】：2023-03-08 18:25:01
【问题描述】：

Determining complexity for recursive functions (Big O notation) 上的问题 5 是：

int recursiveFun(int n)
{
    for(i=0; i<n; i+=2)
        // Do something.

    if (n <= 0)
        return 1;
    else
        return 1 + recursiveFun(n-5);
}

为了突出我的问题，我将递归参数从n-5 更改为n-2：

int recursiveFun(int n)
{
    for(i=0; i<n; i+=2)
        // Do something.

    if (n <= 0)
        return 1;
    else
        return 1 + recursiveFun(n-2);
}

我知道循环在n/2 中运行，因为标准循环在n 中运行，我们迭代了一半的次数。

但是递归调用不也一样吗？对于每个递归调用，n 减 2。如果 n 为 10，则调用堆栈为：

recursiveFun(8)
recursiveFun(6)
recursiveFun(4)
recursiveFun(2)
recursiveFun(0)

...这是 5 个调用（即 10/2 或 n/2）。然而，Michael_19 提供的答案表明它在n-5 中运行，或者在我的示例中为n-2。显然n/2 与n-2 不同。在分析 Big-O 时，我哪里出错了，为什么 recursion 与 iteration 不同？

【问题讨论】：

标签： recursion iteration big-o computer-science

【解决方案1】：

分析递归算法的大O的常用方法是找到一个递归公式，该公式“计算”算法完成的操作次数。通常表示为T(n)。

在你的例子中：这段代码的时间复杂度可以用公式来描述：

T(n) = C*n/2                                   +    T(n-2)
       ^                                              ^
    assuming "do something is constant        Recursive call

由于很明显它将在O(n^2) 中，让我们使用归纳法显示Omega(n^2)：

归纳假设：

T(k) >= C/8 *k^2  for 0 <= k < n

确实：

T(n) = C*n/2 + T(n-2) >= (i.h.) C*n/2 + C*(n-2)^2 / 8
     = C* n/2 + C/8(n^2 - 4n + 2) =
     = C/8 (4n + n^2 - 4n + 2) =
     = C/8 *(n^2 + 2)

确实：

T(n) >= C/8 * (n^2 + 2) > C/8 * n^2

因此，T(n) 在big-Omega(n^2) 中。

显示大 O 的方法类似：

假设：T(k) <= C*k^2 代表所有 2 <= k < n

T(n) = C*n/2 + T(n-2) <= (i.h.) C*n/2 + C*(n^2 - 4n + 4) 
     = C* (2n + n^2 - 4n + 4) = C (n^2 -2n + 4)

对于所有n >= 2、-2n + 4 <= 0，所以对于任何n>=2：

T(n) <= C (n^2 - 2n + 4) <= C^n^2

并且假设是正确的 - 根据 big-O 的定义，T(n) 在 O(n^2) 中。

既然我们已经证明 T(n) 既在 O(n^2) 又在 Omega(n^2) 中，它也在 Theta(n^2)

分析递归不同于分析迭代，因为：

n（和其他局部变量）每次都会变化，可能很难捕捉到这种行为。
当有多个递归调用时，事情会变得更加复杂。

【讨论】：