是 n log n = O(n) 并且是 n log n = Omega(n)答案

【问题标题】：Is n log n = O(n) and is n log n = Omega(n)是 n log n = O(n) 并且是 n log n = Omega(n)
【发布时间】：2019-08-13 10:48:13
【问题描述】：

大家好，我已被问及上述 2 个问题，并解释了原因。我很困惑，我知道运行 O(nlogn) 算法所需的时间比线性 O(n) 算法增长得更快，但不太确定这些问题的答案。我相当确定 n log n 不等于 O(n) 但我不太确定如何解释它。（我认为我们不需要做一个确切的证明）

【问题讨论】：

请使用cs.stackexchange.com 回答这个问题。显示这种关系的最简单方法是在 2d 平面上绘制这两个图。然后你会自动看到它的上限或下限。
如果您的问题不是关于 .net 实现的问题，请考虑删除特定语言的标签。
用实数测试方程。假设 O(n) 是 1,2,3,4,... 到无穷大。所以它是 n 的 1 倍。如果您查看等式 n log n 的左侧，当 log n 大于 1 时它会更大，当 log n 小于 1 时它会更小。
两者都是错误的，因为它们不正确并且根本没有意义。（苹果和橘子）在左边你有正确复杂度的纯函数，如果没有算法的上下文，你不能从一个到另一个。如果您要制定O(n*logn) = O(n)，那将是错误的，但至少它是有意义的。
@Yoda：你误解了“复杂性”这个词。 O(n) 是一组函数。当我们说给定算法的时间复杂度在 O(n) 时，这意味着它的时间复杂度是一个函数，例如 3n+20，它是 O(n) 的一个元素。（你说得对，写成 "f(n) = O(n)" 不是 quite 格式正确——严格来说，它应该是 "f(n) ∈ O(n) " -- 但在这方面使用 "=" 是很常见的，通常不会引起任何混淆。)

标签： loops big-o computer-science complexity-theory

【解决方案1】：

声明：n*log(n) 不是 O(n) 证明：证明是矛盾的。假设n*log(n) 是O(n)。然后根据O 的定义，必须存在常量n0 和c，这样对于所有n > n0，n*log(n) <= c * n。两边除以n 得到log(n) <= c。但是，没有常数 c 使得所有 n > n0 的 log(n) <= c；考虑序列n = 2^0, 2^1, 2^2, …, 2^k, …这是一个矛盾；所以，这个假设是不正确的。换句话说，n*log(n) 不能是O(n)。

声明：n*log(n) 是 Omega(n) 证明：证明是直接的。选择n0 = 1 和c = 1。然后n*log(n) >= n = 1*n = c*n，根据需要。

【讨论】：

【解决方案2】：

简单回答：

忽略一些细节，您可以说 f(n) = O(g(n)) 意味着 f(n) = g(n)。（我们也可以将其扩展到 Theta、little o 和 little omega）。

所以基本上，如果你有直觉认为 nlogn 是一个比 n 更大的函数，那么你可以说：n log n = Omega(n) 或等效地 n = O(n log n)。但反之则不然。

因此，nlogn=O(n) 是错误的说法。

复杂的答案：

如果你想证明 f(n)=O(g(n))，那么你需要找到满足 Big-O 定义的某些常数。你可以查一下，但我不会详细说明。

但是，如果你想证明 f(n) 不在 O(g(n)) 中，那么简单地说你想证明 f(n) g(n) 的情况。现在，您可以将 严格较大（较小） 比较表示为 little-o 或 little-omega。因此，要证明 f(n) 不在 O(g(n)) 中，您实际上应该证明 f(n) > g(n) 转换为 f(n) = little-omega(g(n)) .要证明小 o 和小 omega 关系，您必须使用限制。

详细了解这些形式证明的一个很好的参考是 Cormen 的“Introduction to Algorithms, Third Edition”。

【讨论】：

【解决方案3】：

n logn 不是O(n)，因为它比n 增长得更快，这意味着n 不是它的上限。

另一方面，n log n 是 Ω(n)，因为 n 是它的下限。 Ω的定义是for f(n)=Ω(g(n)) means that for any c there exists an n such that 0<=cg(n)<=f(n)。

【讨论】：