NP 完成和 NP 困难

Question

我必须检查我的逻辑是否在正确的路径上。

NP-HARD：这些是最难的问题，可能/可能不在 NP 类中。如果您对这些问题有一个有效的算法，那么您在 NP 类中的每个问题都有一个。

NP COMPLETE：这些是 NP 类中最难的问题，如果你解决其中一个问题，你可以解决 NP 类中的任何问题。所以，NP COMPLETE 问题是一个 NP-HARD 问题。

库克定理：如果 SAT(NP-HARD) 具有多项式时间算法，那么 NP 类中的每个问题也是如此。

现在，假设我们必须证明 CDP（集团决策问题）是NP COMPLETE。

->第 1 步：证明 CDP 属于 NP 类。 它属于 NP 类，因为证明者可以为 yes 输入生成证明，这将使验证者能够检查它是否是 CDP（具有大小为 k 的集团）。

->第 2 步：证明 CDP 是 NP HARD。 为此，我们可以通过从子句构建图并提供 k 来将 SAT 转换为 CDP。 我们将 (G,k) 提供给 clique 子程序，该子程序将验证是否存在大小为 k 的 clique。如果它可以在多项式时间内解决这个问题，那么 SAT 有一个多项式时间算法，因为 CDP 有一个多项式时间算法，我们将 SAT 转换为 CDP。所以，现在我们证明了如果 CDP 有多项式时间算法，那么 SAT 也有。现在，如果我们可以找到 CDP 的多项式时间算法，那么这意味着 SAT 存在多项式时间算法。这意味着 COOK'S THEOREM 对 NP 中的每个问题都有一个多项式时间算法。

所以我们证明了 CDP 是NP COMPLETE。一旦我们将 CDP 添加到 NP COMPLETE 类，现在我们提出一个新问题，我们必须再次证明它是 NP COMPLETE，我们可以证明该问题属于 NP strong> 然后我们可以证明如果给定问题有一个有效的算法，那么这意味着 SAT/CDP 有一个有效的算法（因为我们已将其添加到 NP COMPLETE）。然后如上所述，我们可以将这个问题转换为 CDP/SAT，然后证明如果我们的问题有一个有效的算法，那么 CDP/SAT 有一个有效的算法，然后再次通过库克定理，如果有一个解决方案 NP -HARD 问题（在这种情况下是 CDP/SAT），那么 NP 中的每个问题都有一个。所以我们再次证明了我们的问题是 NP-HARD 并且现在它也属于 NP 如上所述，它是 NP COMPLETE。

所以我们可以向 NP COMPLETE 类添加尽可能多的问题，只要我们可以将一些已经在 NP-HARD 类中的问题（在本例中为 SAT/CDP）转换为我们的问题，并且我们应该找到一个有效的算法来解决我们的问题将间接找到 NP-HARD 问题的有效算法，根据 COOK 定理，我们可以说，由于某些 NP-HARD 问题有一个有效的算法，我们有一个解决NP中所有问题的高效算法。

Answer 1

你在正确的道路上，但你的逻辑有点不完整。

您的证明的一般结构是正确的：首先证明问题属于 NP，然后证明问题属于 NP-Hard。这两条信息一起证明了一个问题是 NP-Complete 的。

您证明问题在 NP 中的证明不完整。以下是证明问题存在于 NP 中的关键组件：

1. 将问题改写为可以用“是”或“否”来回答的决策问题。
2. 描述什么是“证书”。注意：证书是可以检查以验证决策问题答案的输出。对于 CDP，它可以是组成大小为 k 的团的顶点和边的列表。
3. 证明可以在多项式时间内验证此证书。

你证明 NP-Hard 的证明是不完整的。以下是证明问题是 NP-Hard 的关键组成部分：

1. 将已知 NP-Hard 问题的输入转换为您要证明的问题的输入。
2. 证明这种变换可以在多项式时间内完成。
3. 将您试图证明的问题的输出转换为已知 NP-Hard 问题的输出。
4. 演示如何在多项式时间内完成。
5. 证明如果你得到了你试图证明的问题的答案，那么你就有了已知问题的答案。
6. 证明，如果您得到已知问题的答案，则您尝试证明的问题也有答案。

只有满足这 6 个标准，你才能说你已经完全证明了一个问题是 NP-Hard。

除了你的逻辑是合理的细节。如果您的真正意思是“可以在多项式时间内解决”，那么在说“高效”时要小心。