n 在 big-o 复杂度中是什么意思？

Question

在 Big-Oh 符号中，n 是什么意思？我已经看到了向量的输入大小和长度。如果是输入大小，是否意味着计算机上的内存空间？我看到n 经常与输入大小互换使用。

Big-Oh 的示例，

O(n) 是线性运行时间
O(logn) 是对数运行时间。

代码复杂度分析示例，（我将输入n改为m）

def factorial(m):
   product = 1
   for i in range(1, m+1):
      product = product*i
   return product

这是 O(n)。 n 是什么意思？它需要多少内存？也许n 向量中的平均元素数？那么，当n=3，单数时怎么解释呢？

Answer 1

当有人说O(n) 时，n 可以根据上下文指代不同的事物。当n 所指的内容不明显时，人们最好明确指出，但存在一些约定：

1. 当 O 表示法中使用的变量的名称也存在于代码中时，它们几乎肯定是指具有该名称的变量的值（如果它们指的是其他任何东西，则应指出明确）。因此，在您的原始示例中，您有一个名为 n 的变量，O(n) 将引用该变量。
2. 当代码不包含名为n 的变量且n 是O 表示法中使用的唯一变量时，n 通常指输入的总大小。
3. 当使用多个变量时，以n开头然后继续字母表（例如O(n*m)），n通常是指第一个参数的大小，m是第二个参数，依此类推。但是，在我看来，在实际参数名称周围使用| | 或len( ) 之类的东西通常更清楚（例如，如果您的参数称为l1 和l2，则使用O(|l1| * |l2|) 或O(len(l1) * len(l2))）。
4. 在图问题的上下文中，v 通常用于表示顶点的数量，e 用于表示边的数量。

在所有其他情况下（以及在上述某些情况下，如果有任何歧义），应明确提及变量的含义。

在您的原始代码中，您有一个名为n 的变量，因此语句“这是O(n)”几乎可以肯定是指参数n 的值。如果我们进一步假设我们只计算乘法的次数或循环体执行的次数（或者我们测量时间并假设乘法需要恒定的时间），那么该语句是正确的。

在您编辑的代码中，不再有名为n 的变量。所以现在声明“这是O(n)”必须引用别的东西。通常人们会假设它指的是输入的大小（这将是m 中的位数，即log m）。但是这个声明是公然错误的（应该是O(2^n)，而不是O(n)），所以原始声明明确提到了n 的值，而你通过编辑代码破坏了它。

Answer 2

n 通常表示输入数据量。

例如，取一个包含 10 个元素的数组。要迭代所有元素，您将需要十次迭代。在这种情况下，n 是 10。

在您的示例中，n 也是描述输入数据大小的值。如您所见，您的阶乘实现将需要n+1 迭代，因此此实现的渐近复杂度约为O(n)（注意：我省略了 1，因为它不会对图片产生太大影响）。如果您将传递的变量n 增加到您的函数，则需要更多的迭代来执行计算结果。

Answer 3

O(1) 描述了一种算法，无论输入数据集的大小如何，都将始终在同一时间（或空间）内执行。

O(N) 描述了一种算法，其性能将线性增长，并且与输入数据集的大小成正比。

O(N^2) 表示一种算法，其性能与输入数据集大小的平方成正比。这在涉及对数据集进行嵌套迭代的算法中很常见。

我希望这会有所帮助。