O(n) 空间复杂度到底是什么意思，它的效率有多低？

Question

我对 O(n) 在空间中的含义有很高的理解。这意味着对于输入为 n 的算法，该算法在内存中分配的额外存储空间将与 n 成比例地增加。

因此，如果您有一个算法，将数字 n 作为输入，并创建一个大小为 2n 的数组并将其填充为全 0，则时间复杂度将为 O(n)，空间复杂度为 O(n)因为您正在创建一个与输入大小相关的数组（附加存储）。这种理解正确吗？

其次，O(n) 的空间复杂度有多糟糕？流行的排序算法，如快速排序，最坏情况下的空间复杂度为 O(n)，所以对于任意长的数据进行排序，O(n) 空间复杂度是否可能产生可怕的影响？如果是这样，是否有任何关于为什么或如何的直觉？

Answer 1

O(n) 意味着成本随着输入元素的数量以线性而不是指数（例如 O(n^2)）或对数（例如 O(log(2))）的速率增加，这在这些情况下，例如键表中的元素数量。如果您需要您的算法有效地处理较大的 n 值，O(n) 是不好的，特别是如果您可以使用一种替代方案，它的比例小于线性比例（例如 O(log(n))）。

时间复杂度和空间复杂度是不同的问题。

只有当 n 的可能值最终会使用有问题的内存或存储量时，空间复杂性才是一个大问题。在许多情况下，可能需要 O(n) 进行存储，因为为了在某些情况下达到小于 O(n) 的目标，您需要压缩数据，和/或您的数据可能有重复。对于一个基本示例，如果您有一个键/值函数，其中值很大但经常重复，则为每个键复制值可能效率低下，这将是 O(n)，因此存储在映射而不是数组中对于空间来说可能效率更高。

在索引查找算法的情况下，通常会说最坏情况 O(n) 的时间复杂度不好，因为 O(n) 意味着您可能必须查看索引中的每个元素才能找到您要的那个寻找。 IE。该算法并不比只遍历整个列表直到找到匹配项好多少。与各种众所周知的树索引结构相比，它的效率低下，这确实需要 O(n) 时间 - 也就是说，查找某些内容的时间不会与索引中的元素数量成线性比例增加，因为树结构减少了与指数较浅的曲线进行比较所需的次数。

某些其他类型的算法可能没有比 O(n) 更好的已知解决方案，例如所有可能相互交互的 AI 代理领域。

Answer 2

大 O 表示法中的 N 通常表示输入的大小，而不是传递给算法的值。

O(n) 的空间复杂度意味着对于每个输入元素，最多可以分配固定数量的 k 字节，即运行算法所需的内存量增长速度不会快于 k*N 处的线性增长。

例如，如果排序算法分配 N/2 个元素的临时数组，则称该算法具有 O(n) 空间复杂度。

如果没有上下文，就不可能说它是好是坏。在许多情况下，O(N) 的空间复杂度是可以接受的，但也有例外。有时您会增加内存复杂度以降低时间复杂度（即为显着加速而支付内存费用）。这几乎被普遍认为是一个很好的权衡。