我刚刚被介绍给 Big-O 表示法，并且有人向我提出了一些问题。但是我对如何确定n0 的值感到困惑。
我必须证明3n^3 +20n^2 + 5 是 O(n^3)。到目前为止，我有：
3n^3 + 20n^2 + 5 <= cn^3
(3 - c)n^3 + 20n^2 + 5 <= 0
5 <= n^3(c - 3) - 20n^2
5 <= n^2(n(c - 3) - 20)
我只是不知道如何从这里找到 n0 和 c。有人介意解释一下吗？
【问题讨论】：
标签： big-o
3n^3 + 20n^2 + 5 <= cn^3
=> 20n^2 + 5 <= cn^3 - 3n^3
=> 20n^2 + 5 <= n^3(c - 3)
=> 20n^2/n^3 + 5/n^3 <= n^3(c - 3)/n^3
=> 20/n + 5/n^3 <= c - 3
=> c >= 20/n + 5/n^3 + 3
根据您希望大于条件开始的位置，您现在可以选择 n0 并找到值。
例如，对于 n0 = 1：
c >= 20/1 + 5/1 + 3 which yields c >= 28
值得注意的是，根据 Big-O 符号的定义，实际上并不要求边界如此紧密。由于这是一个简单的函数，您只需猜测并检查它（例如，为 c 选择 100 并注意该条件确实渐近地为真）。
例如：
3n^3 + 20n^2 + 5 <= (5 * 10^40) * n^3 for all n >= 1
不等式成立就足以证明 f(n) 是 O(n^3)。
为了提供更好的证明，实际上需要证明存在两个常量c 和n0，使得f(n) <= cg(n) for all n > n0。
使用我们的 c = 28，这很容易做到：
3n^3 + 20n^2 + 5 <= 28n^3
20n^2 + 5 <= 28n^3 - 3n^3
20n^2 + 5 <= 25n^3
20/n + 5/n^3 <= 25
When n = 1: 20 + 5 <= 25 or 25 <= 25
For any n > 1, 20/n + 5/n^3 < 25, thus for all n > 1 this holds true.
Thus 3n^3 + 20n^2 + 5 <= 28n^3 is true for all n >= 1
（这是一个做得很糟糕的“证明”，但希望这个想法能显示出来。）
【讨论】：
3n^3 + 20n^2 + 5 和cn^3 相交的点，对吗？该交集是c（间接）的函数，因此n0 和c 没有一个解决方案。
n0），f(n) 必须>= cg(n)。要证明 Big-O 关系，您所要做的就是证明c 和n0 的存在。 （值得注意的是，在我的回答中，我并没有从技术上证明它们的存在。我稍后会编辑我的答案。）
3n^3 + 20n^2 + 5 <= cn^3
5 + 20n^2 <= n^3(c - 3)
5/n^3 + 20/n <= c - 3
For n0 = 20, c >= 5, since 5/n^3 + 20/n < 2
【讨论】：
如果你有f(n) = (3n^3 + 20n^2 + 5)，你想看看是不是O(g(n))哪里是g(n) = n^3，我相信你可以把f(n)/g(n)的极限当作n->无穷大。
由于限制为 3，您可以看到 3n^3 + 20n^2 + 5 的增长速度仅与 n^3 一样快。当你有一个像3n^3 + 20n^2 + 5 这样的多项式时，你可以通过检查知道最大的阶项总是O(f(n)) 的值。
找到 n0 和 C 并没有多大帮助，但它是确定某事物的顺序的一种相对简单的方法。正如其他人在这里所说，您可以选择 n0 然后计算 C。
如果你选择 n0 = 1，那么你有3*(1^3) + 20*1^2 + 5 = 28。所以如果c1^3 <= 28，c 必须是 28。你已经证明有一个 c 和 n0 满足这个条件，所以你已经证明 f(n) 是 O(n^3)
【讨论】：
除以 n^3 我们得到 3+20/n+5/n^3
取C值为10 20/n+5/n^3
我们需要针对不同的 n 值来解决这个问题，直到满足条件 C=10 和 n0 = 3 将给出解决方案
【讨论】：