嵌套循环的渐近分析

Question

我想更好地理解渐近分析，因为我相信我对此没有扎实的理解。如果有人能强调一种更好的方法，我将不胜感激。举两个例子

for (int i = 1; i <= n; i *= 2) { for (int j = 0; j < n; j++) { count++; } }

这个问题来自 Quiz，答案是 O(n log n)

我看了一个斯坦福大学的讲座，下面是它的例子

for i = 1 to n
  for j = i + 1 to n
   if A[i] == A [j] return TRUE otherwise
   return FALSE 

第二个给定问题的渐近分析是二次 O(n^2)

我怎么知道 O(n log n) 或 O(n^2) 什么时候它们都嵌套了 for 循环？

非常感谢任何答案。先谢谢了

Answer 1

第一个示例是O(nlogn)，因为外循环重复log(n) 次，并且它的每个重复都需要内循环的O(n) 重复 - 所以这总计在O(log(n) * n) = O(nlogn)。

但是，在第二个示例中 - 外部循环需要 O(n) 迭代，并且对于每次迭代 i - 它需要内部循环的 O(n-i) 迭代。这意味着它将花费n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1 总时间。这是算术级数，总和在O(n^2)

如果不了解发生的一些情况，就没有“简单的方法”来了解复杂性 - 复杂性分析取决于具体情况。
但是，有一些提示可能对您有所帮助，例如 - 如果迭代计数器与每次迭代相乘 - 这强烈表明复杂性函数中将涉及对数，就像在您的第一个示例中一样。