渐近分析答案

【问题标题】：Asymptotic analysis渐近分析
【发布时间】：2013-09-18 03:37:13
【问题描述】：

我无法理解如何将其转化为公式。

    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 1; j <= N; j += i) {

我意识到会发生什么，对于每一个 i++，你的 j 乘法级数会减少 1 级。

i = 1, 你得到 j = 1, 2, 3, ..., 100

i = 2, 你得到 j = 1, 3, 5, ..., 100

我不知道如何用 Big-theta 来思考这个问题。

j的总数是N，N/2，N/3，N/4...，N/N（我的结论）

如何最好地尝试将其视为 N 的函数？

【问题讨论】：

所以您的问题实际上可以简化为“谐波级数 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N 的紧界是多少？”答案是log N（你可以认为它是连续的和而不是离散的，注意1/N的积分是log N）
第二个循环，差不多。但作为一个整体，如何以大角度来思考这段代码的最佳方式。那就是：我猜第一个循环是 N，第二个是谐波级数，但我一直在做一些这样的问题来掌握这个问题，我的数学似乎总是让我失败。
你好像误会了什么。谐波级数（好的，乘以N）是整个算法的大θ。请注意，对于没有第一个循环的第二个循环，big-theta 将是固定的 N/i
是的，没错。正如您在下面指出的那样，我注意到 1/N = ln(N) 的积分。将公式与我的结果进行比较，得出了相当相似的结果。

【解决方案1】：

所以您的问题实际上可以简化为“谐波级数 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N 的紧界是多少？”答案是log N（你可以认为它是连续的和而不是离散的，注意1/N的积分是log N）

你的调和级数是整个算法的公式（正如你已经正确得出的结论）

所以，你的总和：

N + N/2 + N/3 + ... + N/N = N * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N) = Theta(N * log N)

所以算法的严格界限是N*log N

参见[严格的]数学证明here（参见“积分检验”和“发散率”部分）

【讨论】：

【解决方案2】：

好吧，您可以有条不紊地使用 Sigma 表示法：

【讨论】：